初二数学竞赛题。
一．选择题：（每题5分）
1.已知a为整数，关于x的方程的根是质数，且满足，则a等于（ ）
a.2 b.2或5 c.±2 d.－2
2、已知一次函数，函数随着的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
a、 b、 c、 d、
3、如图-4，△abc中，ad是∠bac内的一条射线，be⊥ad，且△chm可由△bem旋转而得，延长ch交ad于f，则下列结论错误的是（ ）
a、bm=cm b、fm=eh c、cf⊥ad d、 fm⊥bc
4、如图所示，两个边长都为2的正方形abcd和opqr，如果o点正好是正方形abcd的中心，而正方形opqr可以绕o点旋转，那么它们重叠部分的面积为（ ）
a、4 b、2 c、1 d、
5.若关于x的方程的解是，，则关于x的方程的解是（ ）
a.， b.， c.， d.，
6．△abc的三边为a、b、c，且满足，则△abc是。
a) 直角三角形 (b)等腰三角形
c) 等边三角形 (d)以上答案都不对。
二、填空题：（每题5分）
7、如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个。
直角三角形沿bc方向平移be距离就得到此图，已知ab=8cm,be=4cm，dh=3cm,则图中阴影部分的面积是___
8、如果两个数x和y满足，则x+y的最小值是___最大值是___
9、现需在一段公路的一侧树立一些公益广告牌。第1个广告牌树立在这段路的始端，而后每隔5米树立一个广告牌，这样刚好在这段路的未端可以树立1个，此时广告牌就缺少21个，如果每隔5.5米树立1个，也刚好在路的未端可以树立1个，这样广告牌只缺少1个，则这些公益广告牌有个，这段路长米。
10.某学校建了一个无盖的长方体水箱，现在用一个半径为r的圆形砂轮打磨内壁和箱底，则砂轮磨不到的部分的面积为＿＿＿
11．如图，正方形abcd的边长为a，e是ab的中点，cf平分∠dce，交ad于f，则af的长为 ．
12．已知非负实数a、b、c满足条件：3a＋2b＋c=4, 2a＋b＋3c=5，设s＝5a＋4b＋7c的最大值为m，最小值为n，则n－m等于。
三、解答题：（每题20分）
13、设一个（n+1）位的正整数具有下述性质：该数的首位数字是6，去掉这个6以后，所得的整数是原来的，把这个数记作an+1,试求a3+a4+a5+a6的值。
14.已知关于x的方程的解都是整数，求整数k的值。
15. 如图，在正方形abcd中，p是cd上一点，且ap=bc+cp，q为cd中点，求证：∠bap＝2∠qad．
16、某公园门票**，对达到一定人数的团队，按团体票优惠，现有a、b、c三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，总共可少花72元．
这三个旅游团各有多少人？
在下面填写一种票价方案，使其与上述购票情况相符：
参***（十三）
一、选择题：1、d(a2x=20=4×5,∴a2=4,a=±2,x=5,代入检验可知)
2、d(∵随着的增大而减小∴1－2m<0, ∵图象不经过第一象限。
m-2≤0,∴)3、d 4、d(旋转至op、or过点a、b)
5、d(∵x-1+=a-1+∴x-1=a-1或x-1=∴x=a或x=+1=) 6、b(a2+b2+c2=2ac+3bc ∴(a2-2ac+c2)+(b2-3bc+c2)=0,即（a-c）2+(b- c)2=0)
二、填空题cm2 (∵s阴＝s梯形abeh )
8、∵│x+y+3│+│5-x-y│=8,而（x+y+3）+（5-x-y）=8,∴x+y+3≥0
且5-x-y≥0 ∴-3≤x+y≤5,∴最小值为－3，最大值为5。
9、设广告牌有x个，则有5(x+21-1)=5.5(x+1-1),解得x=200,5.5x=1100m.
×4×（r2- r2）=20r2-5πr2 (也可写为（20-π）r2 )
11、延长ce交da的延长线于点g，过f作fh⊥cg于h，易求得。
ag=cb=a，cg=a,∵ch=cd=a,∴hg=(-1)a,设af=x,则fh=df=a-x,fg=a+x,由勾股定理得（a+x）2-(a-x)2=[-1)a]2,4ax=(6-2)a2,∴af=x=a.
12、∵3a＋2b＋c=4, 2a＋b＋3c=5，∴a=6-5c,b=7c-7,∴s＝5a＋4b＋7c=10c+2,非负实数a、b、c∴a=6-5c≥0,b=7c-7≥0,∴1≤c≤，∵s=10c+2,∴当c＝时，s最大＝14，当c＝1时，s最小＝12，即m=14,n=12,∴n－m=－2
三、解答题：
13、设去掉这个6以后所得的整数为x，则原来的数为6×10n+x,由题意得： 6×10n+x＝25x,∴24x= 6×10n,∴x=×10n，当n=2时，x=25,∴a3=625；当n=3时，x=250,∴a4=6250，同理得a5=62500，a6=625000，∴a3+a4+a5+a6＝625＋6250＋62500＋625000＝694375
14、（分类讨论）（一）当k2-1=0时，为一元一次方程，把k=±1代入，发现方程都为整数解。（二）当k2-1≠0时，为一元二次方程，此时用“十字相乘法”得。
（k+1）x-12]·[k-1)x-6]=0,∴x1=，x2=,要想使方程的解都是整数，则要同时满足k+1=±1,±2,±3,±4,±6,±12且k-1=±1,±2,±3,±6
k=2,0,3,-2,-5,综上所述，k= ±1,±2,0,3,,-5。
15、延长pc至e,使得ce=bc,连接ae交bc于f，易得ae平分∠bap,再证△abf≌△adq。
16、（1）360+384+480－72=1152（元）
1152÷72=16（元/人），即团体票是每人16元，因为16不能整除360，所以a团未达到优惠人数，若三个团都未达到优惠人数，则三个团的人数比为360︰384︰480=15︰16︰20，即三个团的人数分别为×72、×72、×72，这都不是整数（只要指出其中某一个不是整数即可），不可能，所以b、c两团至少有一个团本来就已达到优惠人数，这有两种可能：①只有c团达到；②b、c两团都达到．对于①，c团人数为480÷16=30（人），a、b两团共有42人，a团人数为，b团人数为，不是整数，不可能；所以必是②成立，即c团有30人，b团有24人，a团有18人．
团体票人数限制。
也可以是“须超过。
18人”等）
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