2023年全国高考理科数学试题分类汇编13 计数原理。
j1 基本计数原理。
10．、[2014·福建卷] 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
a．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
b．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
c．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
d．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
10．a [解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋cc＋cc2＋cc3＋cc4＋cc5＝(1＋c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.
j2 排列、组合。
13．[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品a与产品b相邻，且产品a与产品c不相邻，则不同的摆法有___种．
13．36 [解析] aaa＝6×2×3＝36.
8．、[2014·广东卷] 设集合a＝，i＝1，2，3，4，5}，那么集合a中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )
a．60 b．90 c．120 d．130
8．d [解析] 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合m＝，n＝．
当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从n中取，共有c×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从n中取，共有c×22种方法；
当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从n中取，共有c×2种方法．
故总共有c×23＋c×22＋c×2＝130种方法，即满足题意的元素个数为130.
11．、[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为___
11. [解析] 本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有c种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有cc种方法．故这七个数的中位数是6的概率p＝＝.
6．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
a．144 b．120 c．72 d．24
6．d [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，ac＝24.
5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
a．60种 b．70种
c．75种 d．150种。
5．c [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有cc＝75(种)．
6．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
a．192种 b．216种。
c．240种 d．288种。
6．b [解析] 当甲在最左端时，有a＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有aaa＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选b.
14．[2014·浙江卷] 在8张奖券中有。
一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有___种．(用数字作答)
14．60 [解析] 分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有ca＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有a＝24种．故共有60种获奖情况．
9．[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
a．72 b．120 c．144 d．168
9．b [解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有a种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2a种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有caa种．所以由计数原理可得节目的排法共有a (2a＋caa)＝120(种)．
j3 二项式定理。
13．[2014·安徽卷] 设a≠0，n是大于1的自然数， 的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图13所示，则a
图1313．3 [解析] 由图可知a0＝1，a1＝3，a2＝4，由组合原理知故。
解得。10．、[2014·福建卷] 用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )
a．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
b．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
c．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
d．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
10．a [解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋cc＋cc2＋cc3＋cc4＋cc5＝(1＋c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.
2．[2014·湖北卷] 若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(
a．2 b. c．1 d.
2．c [解析] 展开式中含的项是t6＝c (2x)2＝c22a5x－3，故含的项的系数是c22a5＝84，解得a＝1.故选c.
4．[2014·湖南卷] 的展开式中x2y3的系数是( )
a．－20 b．－5
c．5 d．20
4．a [解析] 由题意可得通项公式tr＋1＝c (－2y)r＝c (－2)rx5－ryr，令r＝3，则c (－2)r＝c××(2)3＝－20.
13．[2014·全国卷] 的展开式中x2y2的系数为用数字作答)
13．70 [解析] 易知二项展开式的通项tr＋1＝c＝(－1)rcx8－y－4.要求x2y2的系数，需满足8－＝2且－4＝2，解得r＝4，所以t5＝(－1)4cx2y2＝70x2y2，所以x2y2的系数为70.
13．[2014·新课标全国卷ⅰ] x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为用数字填写答案)
13．－20 [解析] (x＋y)8的展开式中xy7的系数为c＝8，x2y6的系数为c＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.
13． [2014·新课标全国卷ⅱ] x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a用数字填写答案)
13. [解析] 展开式中x7的系数为ca3＝15，即a3＝，解得a＝.
14．，[2014·山东卷] 若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为___
14．2 [解析] tr＋1＝c (ax2)6－r·＝ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.
2．[2014·四川卷] 在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
a．30 b．20 c．15 d．10
2．c [解析] x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为c＝15.
5．[2014·浙江卷] 在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(
a．45 b．60 c．120 d．210
5．c [解析] 含xmyn项的系数为f(m，n)＝cc，故原式＝cc＋cc＋cc＋cc＝120，故选c.
j4 单元综合。
8．[2014·安徽卷] 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )
a．24对 b．30对。
c．48对 d．60对。
8．c [解析] 方法一(直接法)：在上底面中选b1d1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样a1c1对应的对角线也有8对，同理下底面也有16对，共有32对．左右侧面与前后侧面中共有16对面对角线所成的角为60°，故所有符合条件的共有48对．
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