数列（逐题详解）
第部分 11.【2024年重庆卷（理22）】设。
1）若，求及数列的通项公式；
2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论。
解：（1）当时，平方变形为：
故为等差数列，首项为，公差为，故，故。
2）此时，当时求得不动点，计算前几项得发现，猜测存在。下面证明加强结论。
当时已经验证结论成立。
假设，则由在上单调递减可知：，即也是成立的。
由数学归纳法可知对任意成立。
所以存在常数满足题意。
12.【2024年湖南卷（理20）】(本小题满分13分)已知数列满足，，.
（1）若是递增数列，且，，成等差数列，求的值；
（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式。
解：（1）因为是递增数列，所以，而，因此，又，，成等差数列，所以。
因而，解得或，但当时，，与是递增数列相矛盾，故。
2) 由于是递增数列，因而，于是。
且，所以 ②
则①②可知，，因此， ③
因为是递减数列，同理可得，故， ④
由③④即得。 于是。
故数列的通项公式为。
17.【2024年全国新课标ⅰ（理17）】(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为， =1，，，其中为常数。
ⅰ)证明：；
ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由。
解析】：(由题设，，两式相减。
由于，所以6分。
ⅱ）由题设=1，，可得，由(ⅰ)知。
假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；
证明时，{}为等差数列：由知。
数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列。
令则，∴ 数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列。
令则，∴ （），因此，存在存在，使得{}为等差数列12分。
18.【2024年全国新课标ⅱ（理17）】（本小题满分12分）已知数列满足=1，.
ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
ⅱ）证明：.
（1）由得。
又，所以， 是首项为，公比为3的等比数列。，因此{}的通项公式为=（2）由（1）知=
因为当n1时， 所以，
于是， =所以，
21.【2024年广东卷（理19）】（本小题满分14分）设数列的前和为，满足，且，1)求的值；
2)求数列的通项公式。
解析】，，又，，又，综上知，，；
２）由（１）猜想，下面用数学归纳法证明．
当时，结论显然成立；
假设当（）时，则，又，解得，即当时，结论成立；
由①②知，．
构造法）23.【2024年江西卷（理17）】（本小题满分12分）已知首项都是1的两个数列（），满足。
1) 令，求数列的通项公式；
2) 若，求数列的前n项和。
解析】（1）
同时除以，得到2分。
即3分。所以，是首项为，公差为2的等差数列4分。
所以5分。26分。
………9分。
两式相减得：
………11分。
………12分。
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