2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学。
新课标ii卷）全解全析。
一、选择题。
a. b. c. d.
答案】d解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果。
详解：选d.
点评：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力。
2．已知集合，则中元素的个数为。
a. 9 b. 8 c. 5 d. 4
答案】a解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数。
详解：，当时，；
当时，；当时，；
所以共有9个，选a.
点评：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别。
3．函数的图像大致为。
a. a b. b c. c d. d
答案】b解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像。
详解：为奇函数，舍去a,舍去d;
所以舍去c；因此选b.
点评：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
4．已知向量，满足，，则。
a. 4 b. 3 c. 2 d. 0
答案】b解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果。
详解：因为。
所以选b.点评：向量加减乘：
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为。
a. b. c. d.
答案】a解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果。
详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选a.
点评：已知双曲线方程求渐近线方程：.
6．在中，，，则。
a. b. c. d.
答案】a解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosc,再根据余弦定理求ab.
详解：因为。
所以，选a.
点评：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的。
7．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入。
a. b.
c. d.
答案】b解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减。因此累加量为隔项。
详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减。因此在空白框中应填入，选b.
点评：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查。先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪**，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项。
8．我国数学家陈景润在哥德**猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德**猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是。
a. b. c. d.
答案】c解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率。
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选c.
点评：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法。
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求。对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法。
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化。 (4)排列组合法：
适用于限制条件较多且元素数目较多的题目。
9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。
a. b. c. d.
答案】c解析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果。
详解：以d为坐标原点，da,dc,dd1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选c.
点评：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
10．若在是减函数，则的最大值是。
a. b. c. d.
答案】a解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值。
详解：因为，所以由得。
因此，从而的最大值为，选a.
点评：函数的性质：
1) .2)周期 (3)由求对称轴， (4)由求增区间；
由求减区间。
11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则。
a. b. 0 c. 2 d. 50
答案】c解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果。
详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以，因此，因为，所以，从而，选c.
点评：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为。
a. b. c. d.
答案】d解析】分析：先根据条件得pf2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率。
详解：因为为等腰三角形，，所以pf2=f1f2=2c,由斜率为得，由正弦定理得，所以，选d.
点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等。
13．曲线在点处的切线方程为。
答案】解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程。
详解：点评：求曲线的切线要注意“过点p的切线”与“在点p处的切线”的差异，过点p的切线中，点p不一定是切点，点p也不一定在已知曲线上，而在点p处的切线，必以点p为切点。
14．若满足约束条件则的最大值为。
答案】9解析】分析：先作可行域，再平移直线，确定目标函数最大值的取法。
详解：作可行域，则直线过点a(5,4)时取最大值9.
点评：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想。需要注意的是：
一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得。
15．已知，，则。
答案】解析】分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果。
详解：因为，所以，因此。
点评：三角函数求值的三种类型。
1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数。
2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异。
一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的。
3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。
16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为。
答案】解析】分析：先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果。
详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为。
因此圆锥的侧面积为。
点评：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力。
17．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
答案】（1）an=2n–9，（2）sn=n2–8n，最小值为–16．
解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值。
详解：（1）设的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以的通项公式为an=2n–9．
2）由（1）得sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，sn取得最小值，最小值为–16．
点评：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件。
18．下图是某地区2023年至2023年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了**该地区2023年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2023年至2023年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2023年至2023年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2023年的环境基础设施投资额的**值；
（2）你认为用哪个模型得到的**值更可靠？并说明理由．
答案】（1）利用模型①**值为226.1，利用模型②**值为256.5，（2）利用模型②得到的**值更可靠．
解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的**。
详解：（1）利用模型①，该地区2023年的环境基础设施投资额的**值为。
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
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