2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
文科数学。一、选择题(每小题5分，共40分)
1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）
a) (b) (c) (d)
解析】试题分析：, 则，故选b.
考点：集合运算。
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）
a) 7 (b) 8 (c) 9 (d)14
答案】c考点：线性规划。
3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
a) 2 (b) 3 (c) 4 (d)5
答案】c解析】
试题分析：由程序框图可知： 故选c.
考点：程序框图。
4.设，则“”是“”的（ ）
a) 充分而不必要条件 (b)必要而不充分条件
(c)充要条件d)既不充分也不必要条件。
答案】a解析】
试题分析：由，可知“”是“”的充分而不必要条件，故选a.
考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件。
5. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的方程为（ ）
abc) (d)
答案】d考点：圆与双曲线的性质。
6. 如图，在圆o中，m,n是弦ab的三等分点，弦cd,ce分别经过点m,n,若cm=2,md=4,cn=3,则线段ne的长为（ ）
ab) 3 (c) (d
答案】a解析】
试题分析：由相交弦定理可。
故选a考点：相交弦定理。
7. 已知定义在r上的函数为偶函数，记，则，的大小关系为（ ）
a) (b) (c) (d)
答案】b解析】
试题分析：由为偶函数得，所以，故选b.
考点：1.函数奇偶性；2.对数运算。
8. 已知函数，函数，则函数的零点的个数为。
a) 2 (b) 3 (c)4 (d)5
答案】a考点：函数与方程。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. i是虚数单位，计算的结果为。
答案】-i解析】
试题分析：.
考点：复数运算。
10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为。
答案】 解析】
试题分析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成，所以该几何体的体积为。
考点：1.三视图；2.几何体的体积。
11. 已知函数，其中a为实数，为的导函数，若，则a的值为。
答案】3解析】
试题分析：因为，所以。
考点：导数的运算法则。
12. 已知则当a的值为时取得最大值。
答案】4解析】
试题分析：当时取等号，结合可得
考点：基本不等式。
13. 在等腰梯形abcd中，已知， 点e和点f分别**段bc和cd上，且则的值为。
答案】 解析】
试题分析：在等腰梯形abcd中，由，得， ,所以。
考点：平面向量的数量积。
14. 已知函数若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于直线对称，则的值为。
答案】 解析】
试题分析：由在区间内单调递增，且的图像关于直线对称，可得，且，所以
考点：三角函数的性质。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。
15. （本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛。
）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛。
）用所给编号列出所有可能的结果；
）设a为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件a发生的概率。
答案】（）3,1,2；（）见试题解析；（）
解析】试题分析：（）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（）一一列举，共15种；（）符合条件的结果有9种，所以。
试题解析：（）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；
）（）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为，共15种。
）编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为共9种，所以事件a发生的概率
考点：分层抽样与概率计算。
16. （本小题满分13分）△abc中，内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知△abc的面积为，
）求a和sinc的值；
）求的值。答案】（）a=8,；（
解析】考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换。
17. （本小题满分13分）如图，已知平面abc, ab=ac=3, ,点e,f分别是bc, 的中点。
）求证：ef 平面；
）求证：平面平面。
）求直线与平面所成角的大小。
答案】（）见试题解析；（）见试题解析；（）
解析】试题分析：（）要证明ef 平面， 只需证明且ef 平面；（）要证明平面平面，可证明，；（取中点n,连接，则就是直线与平面所成角，rt△中，由得直线与平面所成角为。
试题解析：（）证明：如图，连接，在△中，因为e和f分别是bc, 的中点，所以，又因为ef 平面， 所以ef 平面。
）因为ab=ac,e为bc中点，所以，因为平面abc,所以平面abc,从而，又，所以平面，又因为平面，所以平面平面。
考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角。
18. （本小题满分13分）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，.
）求和的通项公式；
）设，求数列的前n项和。
答案】（）解析】
试题分析：（）列出关于q与d的方程组，通过解方程组求出q,d,即可确定通项；（）用错位相减法求和。
试题解析：（）设的公比为q,的公差为d,由题意，由已知，有消去d得解得，所以的通项公式为，的通项公式为。
）由（）有，设的前n项和为，则。
两式相减得。
所以。考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和。
19. （本小题满分14分） 已知椭圆的上顶点为b,左焦点为，离心率为，
）求直线bf的斜率；
）设直线bf与椭圆交于点p（p异于点b）,故点b且垂直于bf的直线与椭圆交于点q（q异于点b）直线pq与x轴交于点m,.
（）求的值；
）若，求椭圆的方程。
答案】（）2；（）
解析】试题分析：（）先由及得，直线bf的斜率；（）先把直线bf,bq的方程与椭圆方程联立，求出点p,q横坐标，可得（）先由得=,由此求出c=1,故椭圆方程为。
试题解析：（）由已知及可得，又因为，故直线bf的斜率。
）设点，（）由（）可得椭圆方程为直线bf的方程为，两方程联立消去y得解得。因为，所以直线bq方程为，与椭圆方程联立消去y得，解得。又因为，及得
）由（）得，所以，即，又因为，所以=.
又因为， 所以，因此所以椭圆方程为。
考点：直线与椭圆。
20. （本小题满分14分）已知函数。
）求的单调性；
）设曲线与轴正半轴的交点为p,曲线在点p处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
）若方程有两个正实数根且，求证：.
答案】（）的单调递增区间是，单调递减区间是；（）见试题解析；（）见试题解析。
解析】试题解析：（）由，可得，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减。所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是。
）设，则， 曲线在点p处的切线方程为，即，令即则。
由于在单调递减，故在单调递减，又因为，所以当时， ,所以当时， ,所以在单调递增，在单调递减，所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数，都有。
考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用。
2023年文科数学天津卷
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