一、选择题：
1．已知集合m=，n=，则m∩n=（
a．（0，2） b．（﹣2，0） c． d．
2．设复数z=（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限。
3．设f（x）=，且f（2）=4，则f（﹣2）等于（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
4．某程序框图如图所示，若输出的s=26，则判断框内应填（ ）
a．k＞3？ b．k＞4？ c．k＞5？ d．k＞6？
5．关于直线a，b及平面α，β下列命题中正确的是（ ）
a．若a∥α，b，则a∥b b．若a∥α，b∥α，则a∥b
c．若a⊥α，a∥β，则α⊥βd．若a∥α，b⊥a，则b⊥α
6．已知向量满足||=2，||1，且（）⊥2﹣），则的夹角为（ ）
a． b． c． d．
7．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
a． b． c．2+ d．3+
8． 已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心，半径为的圆相切，则双曲线的离心率为 （
a b c d
9．在△abc中，bc=1且cosa=﹣，b=，则bc边上的高等于（ ）
a．1 b． c． d．
10． f（x）=acos（ωx+φ）a，ω＞0）的图象如图所示，为得到g（x）=﹣asin（ωx+）的图象，可以将f（x）的图象（ ）
a．向右平移个单位长度 b．向右平移个单位长度。
c．向左平移个单位长度 d．向左平移个单位长度。
11． p是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，f1，f2是焦点，pf1与渐近线平行，∠f1pf2=90°，则双曲线的离心率为（ ）a． b． c．2 d．
12．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
a． b． c．（1，1+e） d．（1，1+e2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为 ．
14 正四棱台的斜高与上，下，底面边长之比为5:2:8，体积为14，则棱台的高为___
15．函数f（x）=x2﹣2x﹣3，x∈[﹣4，4]，任取一点x0∈[﹣4，4]，则f（x0）≤0的概率为 ．
16．设数列的前n项和sn，且sn+1=a1（sn+1），若a1=2，则an= ．
三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知等比数列满足。
1）求数列的通项公式。
（2）设，求。
18．如图，直三棱柱abc﹣a1b1c1中，ab⊥ac，e，f分别是bb1，a1c1的中点，1）求证：ef∥平面a1bc；
2）若ab=ac=aa1=1，求点e到平面a1bc的距离．
19．某城市居民月生活用水收费标准为w（t）=（t为用水量，单位：吨；w为水费，单位：元），从该市抽取的100户居民的月均用水量的频率分布直方图如图所示．
ⅰ）求这100户居民的月均用水量的中位数及平均水费；
ⅱ）从每月所交水费在14元﹣18元的用户中，随机制取户，求2户的水费都超过16元的概率．
20．已知椭圆c：+=1（a＞b＞0），四点p1（1，1），p2（0，1），p3（﹣1，），p4（1，）中恰有三点在椭圆c上．
1）求c的方程；
2）设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点．若直线p2a与直线p2b的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
21．已知函数f（x）=（a＞0）
ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x﹣2y+1=0平行，求a的值；
ⅱ）当x≥0时，f（x）≤x成立，求实数a的取值范围．
请考生在第三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，22．在直角坐标系中，以坐标原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点m的极坐标为（2，），曲线c的参数方程为（α为参数）．
1）直线l过m且与曲线c相切，求直线l的极坐标方程；
2）点n与点m关于y轴对称，求曲线c上的点到点n的距离的取值范围．
23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈r时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．
2023年高三文科数学天使训练答案（二）（文科）
1． d 2． d．3．c．4． a 5． c．6． a．7 b 8 b 9． c．10 d 11． d．12 b
7解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为三棱柱，下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面为底面边长是1，底边上的高是1，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，高是2；
所以该几何体的体积为。
v=v三棱柱+v长方体=×1×1×3+1×1×2=．故选：b．
10．解：由题意可得a=1，t==﹣解得ω=2，f（x）=acos（ωx+φ）cos（2x+φ）
再由五点法作图可得 2
f（x）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），g（x）=﹣sin（2x+）=cos（2x++）cos2（x+），而 ﹣（故将f（x）的图象向左平移个单位长度，即可得到函数g（x）的图象，故选：d．
12解：∵f（x）=lnx+x，定义域为，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：
lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx的两个不同根．
k=1+令 k=1+=g（x），再令 g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程 k=1+有两个解．
故所求的k的取值范围为（1，1+），答案为 （1，1+）．故选：b．
13． 1． 14 2 15． ．16． 2n
17 略 18．(1)略（2）．
19解：（ⅰ由频率分布直方图可知，月平均用水量的中位数为2.02（t）；
根据物价部门对城市居民月平均用水的定价为，其中w（t）单位是元，t单位为吨；所以平均水价为：
（0.08×3.75+0.04×4.25）×4]×0.5=5.05275（元） …6分）
ⅱ）依题意，从每月交水费w（单位元），满足14≤w＜18的用户中，随机抽取2户，即从用水量满足3.5≤t≤4.5（t单位吨）中随机抽取2户，根据100户居民月均用水量的频率分布直方图可知，用水量t（吨）∈[3.
5，4）有4户，不妨设为a1，a2，a3，a4，用水量t∈[4，4.5]有2户，设为b1，b2，故上述6户中抽取2户，有以下情况：
a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2共15种情况，又所交水费16＜w＜18只有一种情况b1b2，故此2户所交水费w（单位元），满足16＜w＜18的概率为．…（12分）
20解：（1）根据椭圆的对称性，p3（﹣1，），p4（1，）两点必在椭圆c上，又p4的横坐标为1，∴椭圆必不过p1（1，1），p2（0，1），p3（﹣1，），p4（1，）三点在椭圆c上．
把p2（0，1），p3（﹣1，）代入椭圆c，得：
解得a2=4，b2=1，∴椭圆c的方程为=1．
证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，a（m，ya），b（m，﹣ya），直线p2a与直线p2b的斜率的和为﹣1，==1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），a（x1，y1），b（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，x1x2=，则==
==﹣1，又b≠1，b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．
21．解：（ⅰ由题意得：，解得a=1．…（5分）
ⅱ）令，则，函数y=g（x），x≥0为减函数，∴当x≥0时，…①
1）当a≥1时，，∴当x≥0时，g（x）≤0，即．
2）当0＜a＜1时，由，这与题意不符合．
综上所述，可知当x≥0时，恒成立时的a的取值范围为[1，+∞12分）
22．（10分）在直角坐标系中，以坐标原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点m的极坐标为（2，），曲线c的参数方程为（α为参数）．
1）直线l过m且与曲线c相切，求直线l的极坐标方程；
2）点n与点m关于y轴对称，求曲线c上的点到点n的距离的取值范围．
解：（1）m的直角坐标为（2，2），曲线c的普通方程为（x﹣1）2+y2=4．
设直线l的方程为y=k（x﹣2）+2，联立方程组得（1+k2）x2+（4k﹣4k2﹣2）x+4k2﹣8k+1=0，直线l与曲线c相切，∴（4k﹣4k2﹣2）2﹣4（1+k2）（4k2﹣8k+1）=0，解得k=0或k=﹣．
直线l的方程为y=2或y=﹣（x﹣2）+2，即4x+3y﹣14=0，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2或4ρcosθ+3ρsinθ﹣14=0．
2）点n的坐标为n（﹣2，2），c（1，0）．
cn==，圆c的半径为2．
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