一、选择题（每小题5分，共12小题）
1．已知集合a=，b=，则a∩b=（
a． b． c． d．
2．复数=（
a．﹣i b．1+i c．i d．1﹣i
3．对任意非零实数a，b，若ab的运算规则如图的程序框图所示，则（32）4的值是（ ）
a．0 b． c． d．9
4．已知等差数列中，公差d≠0，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列，则数列前9项的和为（ ）
a．99 b．90 c．84 d．70
5．函数f（x）=ex+2x﹣3的零点所在的一个区间是（ ）
a．（）b．（）c．（）d．（）
6．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
a．16 b．36 c．48 d．72
7．《左传僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往**依附呢？
比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的（ ）条件．
a．充分条件 b．必要条件 c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。
8．设函数，则的值是（ ）
a．2 b．﹣2 c． d．
9．若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（ ）
a．（2，4） b．（﹣2] c．（﹣4] d．[4，+∞
10．过抛物线的焦点f的直线，交抛物线于a，b两点，交准线于c点，若，则λ=（a．﹣4 b．﹣3 c．﹣2 d．﹣1
11．双曲线上存在一点与其中心及一个焦点构成等边三角形，则此双曲线的离心率为（ ）
a．2 b．+1 c． d．﹣1
12．设f（x）=|ln（x+1）|，已知f（a）=f（b）（a＜b），则（ ）
a．a+b＞0 b．a+b＞1 c．2a+b＞0 d．2a+b＞1
一、填空题（每小题5分，共4个小题）
13．已知单位向量与的夹角为60°，则= ．
14．已知实数x，y满足，则z=﹣3x﹣y的最大值为（ ）
15．过双曲线c：=1（a＞0，b＞0）的焦点作渐近线垂线，垂足为a若△oaf的面积为2（o为坐标原点），则双曲线离心率为 ．
16．已知数列满足a1=1，an+1=，则a10= ．
三、解答题（第17-21题每小题12分）
17．在中，已知。
1） 求的值 （2）若的面积是的值。
18．如图，边长为2的正方形abcd中，点e、点f分别是ab、bc上的点，且be=bf，将△aed，△dcf分别沿de，df折起，使a，c两点重合于点a1．
ⅰ）若点e是边ab的中点，求证：a1d⊥ef；
ⅱ）当时，求三棱锥a1﹣def的体积．
19．某地十余万考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分为6组：第一组[40，50），第二组[50，60），…第六组[90，100]，作出频率分布直方图，如图所示。
i）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩；
ii）现从及格的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？
附：20．在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为f，准线交x轴于点h，过h作直线l交抛物线于a，b两点，且|bf|=2|af|．
ⅰ）求直线ab的斜率；（ⅱ若△abf的面积为，求抛物线的方程．
21．已知函数f（x）=lnx+ax﹣x2（0＜a≤1）
i）时，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的方程。
ii）设函数f（x）单调递增区间为（s，t）（s＜t），求t﹣s的最大值．
四。请考生在第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．点p是曲线ρ=2（0≤θ≤上的动点，a（2，0），ap的中点为q．
ⅰ）求点q的轨迹c的直角坐标方程；
ⅱ）若c上点m处的切线斜率的取值范围是[﹣，求点m横坐标的取值范围．
23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．
1）求a+b的值；
2）求+的最小值．
2023年高三文科数学天使训练试卷答案（一）（文科）
1． b． 2． a．
3．由图ab的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故32==2，（32）4=24==故选c．
4． a． 5．c．
6．由三视图知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，且四棱柱的高为6，直角梯形的面积为，∴该四棱柱的体积为v=6×6=36．故选：b．
7．解：由题意知“无皮”“**”，所以“有毛”“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故选：a
8． d．9．由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．
x∈（，时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴解得：a≤2．
a的取值范围是（﹣∞2]．故选：b．
10． |af|=2|fb|，∴aa1|=2|bb1|，∴bb1是△caa1的中位线，|cb|=|ab|=3|fb|，∴cf|=4|fb|，∴4，故选a．
11．与坐标原点o，右焦点f2构成正三角形，连接pf1，则三角形f1pf2为直角三角形，则pf2=c，pf1=pf2tan60°=c，由双曲线的定义可得pf1﹣pf2=2a，（﹣1）c=2a，则e===1，故选：b．
12．易知y=ln（x+1）在定义域上是增函数，而f（x）=|ln（x+1）|，且f（a）=f（b）；故﹣ln（a+1）=ln（b+1），即ab+a+b=0．
即（a+b）（a+b+4）＞0，显然﹣1＜a＜0，b＞0，∴a+b+4＞0，∴a+b＞0，故选a．
16．解：由已知取倒数可得：，又a1=1，故，，．故答案为：．
解：：（折叠前有ad⊥ae，cd⊥cf，折叠后有a1d⊥a1e，a1d⊥a1f，又a1e∩a1f=a1，∴a1d⊥平面a1ef，∴a1d⊥ef．…（6分）
解：（ⅱ由正方形abcd的边长为2，折叠后a1d=2，取ef的中点o，连接a1o，则∴，．12分）
19．解：（ⅰ根据题意，计算平均数为。
（45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.025+85×0.01+95×0.005）×10=67；…（5分）
ⅱ）[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]四组学生的频率之比为。
0.3：0.25：0.1：0.05=6：5：2：1，按分层抽样应该从这四组中分别抽取30，25，10，5人，依题意，可得到以下列联表：
对照临界值表知，不能有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关．…（12分）
20．解：（ⅰ过a，b两点作准线的垂线，垂足分别为a1，b1，易知af=aa1，bf=bb1，|bf|=2|af|，∴bb1|=2|aa1|，∴a为hb的中点，又o是hf的中点，ao是△bhf的中位线，∴，而，∴，而。
6分）ⅱ）∵a为hb的中点，o是hf的中点，，，p=2，∴抛物线的方程为y2=4x12分）
21．解：（ⅰ又，y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y+=﹣x﹣1），即．
ⅱ），令f′（x）＞0得2x2﹣ax﹣1＜0，△=a2+8＞0，∴2x2﹣ax﹣1=0有两根x1，x2（x1＜x2），又，（s，t）=（0，x2），则，而在（0，1]上单调递增，∴a=1时，取得最大值1，a=1时t﹣s取得最大值1．
22．点p是曲线ρ=2（0≤θ≤上的动点，a（2，0），ap的中点为q．
ⅰ）求点q的轨迹c的直角坐标方程；
ⅱ）若c上点m处的切线斜率的取值范围是[﹣，求点m横坐标的取值范围．
解：（i）曲线ρ=2（0≤θ≤化为：x2+y2=4（0≤y≤2），设q（x，y），则p（2x﹣2，2y），代入半圆的方程为：
（2x﹣2）2+（2y）2=4，化为（x﹣1）2+y2=1，（0≤y≤1）．
ii）由（i）可得：设切线的倾斜角为θ．
c上点m处的切线斜率的取值范围是[﹣，tanθ≤﹣120°≤θ150°，设d为切点，∠dca=α，则30°≤α60°，取cd的方程为：y=（x﹣1），（x﹣1）．
联立，，解得x=1+，或x=．
点m横坐标的取值范围是．
23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．
1）求a+b的值；（2）求+的最小值．
解：（1）当x＜﹣b时，f（x）=a﹣x+2（﹣x﹣b）=a﹣2b﹣3x，可得f（x）＞a+b；
当﹣b≤x≤a时，f（x）=a﹣x+2（x+b）=a+2b+x，可得a+b≤f（x）≤2a+2b；
当x＞a时，f（x）=x﹣a+2x+2b=3x﹣a+2b，可得f（x）＞2a+2b．
综上可得f（x）的最小值为a+b，由题意可得a+b=1；
2）+=a+b）（+3++≥3+2=3+2，当且仅当b=a，即a=﹣1，b=2﹣，取得最小值3+2．
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