2023年广州市高三调研测试。
16．（本小题满分12分）
已知向量， 且，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值． 16．（本小题满分12分）
本小题主要考查平面向量， 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识， 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)
1）解：∵,且，∴，即2分。
解得，6分。
2）解：∵，
8分。12分。
17.（本小题满分12分）
某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数。
分布)如下表：
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本。
看成一个总体， 从中任取2人， 求至少有1人的学历为研究生的概率；
2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取个人，其中35岁以。
下48人，50岁以上10人，再从这个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上。
的概率为，求、的值。
17．（本小题满分12分）
本小题主要考查分层抽样、概率等知识， 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、
运算求解能力和应用意识)
1) 解： 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本， 设抽取学历为本科的人数为，∴ 解得2分。
∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作s1、s2 ；b1、b2、b3 .
从中任取2人的所有基本事件共10个： (s1, b1),(s1, b2),(s1, b3),(s2, b1),(s2, b2),
s2, b3), s1, s2), b1, b2), b2, b3), b1, b3
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个： (s1, b1),(s1, b2),(s1, b3),(s2, b1),
s2, b2), s2, b3), s1, s24分。
从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为6分。
2)解： 依题意得： ，解得8分。
∴ 35～50岁中被抽取的人数为。
10分。解得。
18.（本小题满分14分）
如图4，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
18.（本小题满分14分）
本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识， 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
1）证明：在中，由于，2分。
又平面平面，平面平面，平面，平面4分。
2）解：过作交于。
又平面平面， ∴平面6分。
是边长为2的等边三角形， ∴
由（1）知，，在中，斜边边上的高为。 …8分，∴.10分。
. …14分。
19.（本小题满分14分） 图4
已知椭圆的离心率。 直线（）与曲线交于。
不同的两点，以线段为直径作圆，圆心为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值。
19．（本小题满分14分）
本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识， 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
1）解：∵椭圆的离心率，2分。
解得。 椭圆的方程为4分。
2）解法1：依题意，圆心为．
由得。 圆的半径为6分。
圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即。
弦长8分。
的面积9分。
当且仅当，即时，等号成立。 …12分。
的面积的最大值为． …14
解法2：依题意，圆心为．
由得。 圆的半径为6分。
∴ 圆的方程为．
圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离， ，即．
在圆的方程中，令，得，∴ 弦长． …8分。
的面积9分
当且仅当，即时，等号成立。 …12分。
∴ 的面积的最大值为14分。
20．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，且满足n.各项为正数的数列中，对于一切n,有， 且。
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：.
20．（本小题满分14分）
本小题主要考查数列、不等式等知识， 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
1）解：∵，
当时， 解得1分。
当时，得， 即3分。
数列是首项为， 公比为的等比数列。
4分。∵ 对于一切n,有， ①
当时， 有。
1 ② 得。
化简得。用替换③式中的，得6分。
－④ 整理得：，∴当时， 数列为等差数列。,∴数列为等差数列。
8分。数列的公差。∴.10分。
2)证明：∵数列的前项和为，－⑥得12分。
21.（本小题满分14分）
已知函数r, .
1）求函数的单调区间；
（2）若关于的方程为自然对数的底数)只有一个实数根， 求的值。
21．（本小题满分14分）
本小题主要考查函数、导数等知识， 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
(1)解： 函数的定义域为。
① 当， 即时， 得，则。
∴函数在上单调递增2分。
② 当， 即时， 令得，解得。 （由于x含有未知数a，所以要分类讨论。
ⅰ) 若， 则。 ,函数在上单调递增。 …4分
(ⅱ)若，则时， ;时， ,函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增。 …6分。
综上所述， 当时， 函数的单调递增区间为；
当时， 函数的单调递减区间为， 单调递增区间为。
…… 8分。
2) 解： 由， 得， 化为。
令， 则。 令， 得。
当时， ;当时， .
函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减。
当时， 函数取得最大值， 其值为10分。
而函数，当时， 函数取得最小值， 其值为12分。
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