九年级数学暑假补习结课试题 2013.08
满分120分时间120分钟）
注意事项：答案写在答题卡上，不要写在试卷上。考试结束后，交回答题卡。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个是符合题目要求的)
1. 一组数据9.5，9，8.5，8，7.5的极差是 (基础题）
a．0.5b．8.5c．2.5d．2
2. 可以与合并的是 （同类二次根式，教材69页）
abcd．3. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 （改编于教材75页第1题第4小题）
a． b． c．且d．且
4. 等腰梯形上底与高相等，下底是高的3倍，则底角为 （改编于教材29页第3题）
a．90b．60c．45d．30°
5. 如图，c为⊙o直径ab上一动点，过点c的直线交⊙o于d、e两点， 且∠acd=45°，df⊥ab于点f，eg⊥ab于点g，当点c在ab上运动时，设af=，de=，下列图象中，能表示与的函数关系式的图象大致是 （考查直径是圆中最长的弦）
6. 如果一直角三角形的三边为、、，那么关于的方程的根的情况为 （考查判别式与勾股定理）
a．有两个相等的实根b．有两个不相等的实根。
c．没有实根d．无法确定根的情况。
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 若是一元二次方程的一个根，则考查方程的概念）
8. 若，则。
9. 如图，⊙o的直径cd=10，弦ab=8，ab⊥cd，垂足为m，则dm的。
长为垂径定理的简单应用）
10. 若，则满足的条件是改编于教材75页第2题第3小题）
11. 若是的小数部分，则教材76页第10题）
12. 设一元二次方程的两个实根分别为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，．
根据该材料填空：已知，是方程的两个实根，则的值为___
改编于教材93页阅读）
13. 若最简根式与是同类二次根式，则同类二次根式，教材69页）
14. 已知利民公司2024年的利润是10万元，依据下面的统计图，可知该公司2024年的利润是万元． （教材96页增长率问题）
第14题图第16题图
15. 在梯形中，∥，分别为，，，的中点。已知，.则。
16. 如图，正方形纸片abcd的边长为1，m、n分别是ad、bc边上的点，将纸片的一角沿过点b的直线折叠，使点a落在mn上，落点记为，折痕交ad于点e.若m、n分别是ad、bc边的中点，则若m、n分别是ad、bc边的上距dc最近的n等分点（，且n为整数），则用含有n的式子表示）.
（折叠问题与二次根式问题）
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（5分）计算：.
改编于教材及教材73页读一读）
18.（6分）用配方法解一元二次方程：.
19.（8分）如图，已知△abc为等边三角形，点d、e分别在bc、ac边上，且ae=cd，ad与be相交于点f．
（1）求证：≌△cad；
（2）求∠bfd的度数．
20.（7分）经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg的最为畅销。
为了控制西瓜的质量，农科所采用a、b两种种植技术进行试验。现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗，记录它们的质量如下（单位：kg）：
a：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2
b：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9
1）若质量为（5±0.25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表：
2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对a、b两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好。
基础题）21.（7分）观察下列各式及其验证过程：
验证：1）按照上面结论猜想的结果，并写出验证过程；
2）根据对上述各式规律，写出用(为正整数，且)表示的等式并给出证明．
22.（8分）如图，已知在□中，ae是bc边上的高，将沿方向平移，使点e与点c重合，得．
1）求证：；
2）若，当ab与bc满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．
23.（8分）已知关于的一元二次方程。
1）证明：该方程总有两个不相等的实根；
2）请选择一个的负整数值，求出该方程的根。
改编于2024年南京市中考原题第26题）
24.（9分）在学习《5.1圆》这一节时，小明遇到了一个问题：
如图1，与中，，为中点，试说明点、、、在以点为圆心的同一个圆上。
小明想到了一个方法，如图2，连接、，利用直角三角形的某条性质，得到，进而说明了说明点、、、在以点为圆心的同一个圆上。
1）小明利用的直角三角形的性质是。
2）在如图3的四边形中，，点、、、在同一个圆上吗？说明你的理由。
3）根据上一问的经验，请解决如下问题：
如图4，中，三条高、、相交于点，连接、、，试说明平分。
教材第108页练习第3题改编，该题是2024年玄武区二模试题第27题）
25.（8分）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月**出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售1部，所有售出的汽车的进价均降低0.
1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元。
1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；
2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车（盈利=销售利润+返利）？
改编于教材第98页问题4，99页练习。该题是2024年南京市中考试题第25题）
26.（11分）
情境一。我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
我们还知道：
圆心角的度数等于与它所对的弧的度数；
同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
由此，小明得到一个正确的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．如图1，∠lmn＝．
问题1 如图1，如果的度数是80°，那么∠lmn
若∠lmn是圆上的圆周角，且圆的半径为1，ln=，求∠lmn的度数。
图1情境二。
小明把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，并继续探索．
如图2，∵∠ptq是△opt的一个外角，∠ptq＝∠o＋∠p．
∠o＝∠ptq －∠p．
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（已在情境一中证明），∠ptq＝，∠p＝．
∠o＝∠ptq －∠p＝－＝
经历了上述探索、证明过程，小明发现了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半”这个正确结论．
问题2 填空：如图2，如果＝80°，＝20°，那么∠o
问题3 类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探索．写出你的发现，并证明你的结论．
图2备用图。
复圆内角与圆外角）
27.（11分）如图1，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，点a的坐标为，直线bc经过点b，c，将四边形oabc绕点o按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线bc相交于点p、q．
1）四边形oabc的形状是当时，的值是。
2）如图2，当四边形的顶点落在直线bc上时，求的面积．
3）在四边形oabc旋转过程中，当时，是否存在这样的点p和点q，使bp=？若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
图2备用图）
改编于2024年宁波市中考试题，但（1）与（2）应拿分，（3）写存在2字得1分）
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