2023年西城初三数学一模试题讲评(学案)2011.05
8．【原题】如图，点a在半径为3的⊙o内，oa=，p为⊙o上一点，当∠opa取最大值时，pa的长等于（ ）
a． b． c． d．
备用图备用图。
引申】如果点a在圆外，且，则当∠oap取最大值时，pa的长为 ．
20．【原题】如图，四边形abcd是边长为9的正方形纸片，为cd边上的点，=3．将纸片沿一条直线折叠，使点b落在点处，点a的对应点为，折痕分别与ad，bc边交于点m，n．（1）求bn的长；（2）求四边形abnm的面积．
引申】1）设，求bn（用含x的代数式表示）．
2）当x变化时，求梯形abnm面积的最大值．
3）当在dc的延长线上时，上述结论如何？
22．【原题】我们约定，若一个三角形（记为△a1）是由另一个三角形（记为△a）通过一次平移，……之间既无缝隙也无重叠．
1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△a∽△b，其相似比为在图1的基础上继续复制下去得到△c，若△c的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△c中含有___个小三角形；
2）若△a是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是___
3）请你用两次旋转一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．引申】易】
1）如果复制形成的四边形为菱形，则△a的形状是___
2）如果复制形成的四边形为矩形，则△a的形状是___
3）如果复制形成的四边形为等腰梯形，则△a的形状是___
4）能否通过复制得到既非平行四边形也非梯形的四边形？
中】1）如果△a为不等边三角形，通过2次复制后可能得到的多边形有多少种（全等的图形算一种，下同）？
2）如果△a为等边三角形，则复制7次后可能得到的梯形有多少种？平行四边形有多少种？
3）如果△a为等边三角形，则复制14次后可能得到的梯形有多少种？
难】如果△a为等边三角形，若通过n次复制可得到3种梯形，则n的值至少为多少？
23．抛物线，a＞0，c＜0，．
1）求证：；
2）若抛物线经过点，q， 判断的符号；
若抛物线与x轴的两个交点分别为点a，点b（点a在点b左侧），请说明，．
24．如图1，平面直角坐标系xoy中，a，b．将△oab绕点o顺时针旋转角（0°＜＜90°）得到△ocd（o，a，b的对应点分别为o，c，d），将△oab沿轴负方向平移m个单位得到△efg（m＞0，o，a，b的对应点分别为e，f，g），，m的值恰使点c，d，f落在同一反比例函数的图象上．
1）∠aob
2）求经过点a，b，f的抛物线的解析式；
3）若（2）中抛物线的顶点为m，抛物线与直线ef的另一个交点为h，抛物线上的点p满足以p，m，f，a为顶点的四边形的面积与四边形mfah的面积相等（点p不与点h重合），请直接写出满足条件的点p的个数，并求位于直线ef上方的点p的坐标．
引申一】求位于直线e、f下方的点p的坐标．
引申二】用函数思想解题。
25．在rt△abc中，∠c=90°，d，e分别为cb，ca延长线上的点，be与ad的交点为p．
1）若bd=ac，ae=cd，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠ape的度数；
2）若，，求∠ape的度数．
证法举例】证法一：
证法二：证法三：
证法四：证法五：
证法六：设ac= bd=a，bd=ac=b，则ae=cd=．
如图，在 ae上截取af=bc=b，连接de、df，作ag⊥df于g．
结论引申】1）若，，求的值（选择一种方法进行解答）．
2）在（1）的条件下，若将原题条件改为“d在bc上，e在ac上”，求的值．
3）在（1）的条件下，若将原题条件改为“d在bc延长线上，e在ca延长线上”，此时为钝角，求证：．
4）两种极端情况：
a）d、b重合，则a、e重合，p点位置如何（的大小如何）？
b）d、c重合，则a、e重合，p点位置如何（的大小如何）？
题目类比】2011西城毕业考试第22题）如图，△abc中，ab＞bc，d为ab边上一点，ad=bc，记∠bcd，∠b的度数分别为α，β
1）当β=30°时，若，则。
2）若，请用α，β的代数式表示∠acd的度数并证明你的结论。
平移法】平bd至ce，构成平行四边形dbce．
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