解析几何基础练习。
1.已知动点p到直线l：x＝－1的距离等于它到圆c：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长（p到切点的距离）．记动点p的轨迹为曲线e．
ⅰ）求曲线e的方程；
ⅱ）点q是直线l上的动点，过圆心c作qc的垂线交曲线e于a，b两点，问是否存在常数λ，使得|ac|·|bc|＝λqc|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
答案】（1）y2＝6x （ⅱ
解析】（ⅰ由已知得圆心为c(2，0),半径r＝．设p(x，y)，依题意可得。
x＋1 |＝整理得y2＝6x．
故曲线e的方程为。
ⅱ）设直线ab的方程为my＝x－2，则直线cq的方程为y=－m(x－2)，可得q(－1，3m)．设a(x1，y1)，b(x2，y2)．
将my＝x－2代入y2＝6x并整理得y2－6my－12＝0，那么y1y2＝－12， …8分。
则|ac|·|bc|＝(1＋m2) |y1y2 |＝12(1＋m2)，|qc|2＝9(1＋m2)．即|ac|·|bc|＝|qc|2，所以λ＝．
2.已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为．
1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求的斜率；若不能，说明理由．
答案】（1）见解析；（2）四边形能为平行四边形，当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
解析】（1）设直线，将代入，得，故，，于是直线的斜率，即，所是命题得证．
2）四边形能为平行四边形．
直线过点，∴不过原点且与c有两个交点的充要条件是且．
由（1）得的方程为．设点的横坐标为．
由，得，即．
将点的坐标代入直线的方程得，因此，四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是．解得，．，2，当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
3.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点e(－，0)的椭圆的两条切线相互垂直。
1)求此椭圆的方程；
2)若存在过点(t,0)的直线l交椭圆于a，b两点，使得fa⊥fb(f为右焦点)，求t的取值范围。
解 (1)由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为m，x轴下方的切点为n，则kme＝1，me的直线方程为y＝x＋，联立得7x2＋8x＋28－12c2＝0，由δ＝0，得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
2)设直线l的方程为x＝my＋t，a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立。
得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，由δ＞0，得3m2－t2＋4＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，(x1－1，y1)，＝x2－1，y2)，＝x1－1)(x2－1)＋y1y2
x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
(m2＋1)y1y2＋(mt－m)(y1＋y2)＋t2－2t＋1＝0，所以7t2－8t－8＝9m2有解，所以7t2－8t－8≥0，且7t2－8t－8－3t2＋12＞0，则t≥或t≤.
4. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
1)求椭圆c的方程；
2)已知点p(0,1)，q(0,2)．设m，n是椭圆c上关于y轴对称的不同两点，直线pm与qn相交于点t.求证：点t在椭圆c上．
1)解由题意知，b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝＝.
所以a＝2.
所以椭圆c的方程为＋＝1.
2)证明由题意可设m，n的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线pm的方程为y＝x＋1
直线qn的方程为y＝x＋2
法一联立①②解得x＝，y＝，即t.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因为2＋2＝
＝＝＝1，所以点t的坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上．
法二设t(x，y)，联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点t坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上．
5. 中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1，f2，且|f1f2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.
1)求这两曲线方程；
2)若p为这两曲线的一个交点，求cos∠f1pf2的值．
解 (1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则。
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
2)不妨设f1，f2分别为左、右焦点，p是第一象限的一个交点，则|pf1|＋|pf2|＝14，|pf1|－|pf2|＝6，所以|pf1|＝10，|pf2|＝4.又|f1f2|＝2，cos∠f1pf2＝
6.已知双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)
1)求双曲线方程；
2)若点m(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
3)求△f1mf2的面积．
1)解 ∵e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.
又∵双曲线过(4，－)点，∴λ16－10＝6，双曲线方程为x2－y2＝6.
2)证明法一由(1)知a＝b＝，c＝2，f1(－2，0)，f2(2，0)，kmf1＝，kmf2＝，kmf1·kmf2＝＝，又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，kmf1·kmf2＝－1，mf1⊥mf2，·＝0.
法二 ∵＝3－2，－m)，＝2－3，－m)，·3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
m在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，∴·0.
3)解 ∵在△f1mf2中，|f1f2|＝4，且|m|＝，s△f1mf2＝·|f1f2|·|m|＝×4×＝6.
7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为f1，f2，点p在双曲线上，且pf1⊥pf2，|pf1|＝8，|pf2|＝6.
1)求双曲线的方程；
2)设过双曲线左焦点f1的直线与双曲线的两渐近线交于a，b两点，且＝2，求此直线方程．
解 (1)由题意知，在rt△pf1f2中，f1f2|＝，即2c＝＝10，所以c＝5.
由椭圆的定义，知2a＝|pf1|－|pf2|＝8－6＝2，即a＝1.
所以b2＝c2－a2＝24，故双曲线的方程为x2－＝1.
2)左焦点为f1(－5,0)，两渐近线方程为y＝±2x.
由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．
设过左焦点的直线方程为y＝k(x＋5)，则与两渐近线的交点为和。
由＝2，得。
2或者。2，解得k＝±.
故直线方程为y＝± x＋5)．
8.已知抛物线c：y2＝4x，过点a(－1,0)的直线交抛物线c于p、q两点，设＝λ.
1)若点p关于x轴的对称点为m，求证：直线mq经过抛物线c的焦点f；
2)若λ∈，求|pq|的最大值．
思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线mq过f；(2)建立|pq|和λ的关系，然后求最值．
1)证明设p(x1，y1)，q(x2，y2)，m(x1，－y1)．
＝λ，x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ1，λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又f(1,0)，＝1－x1，y1)＝(1－λ，y2)
λ＝λ直线mq经过抛物线c的焦点f.
2)由(1)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，y1y2>0，∴y1y2＝4，则|pq|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)
2－16，∈，当λ＋＝即λ＝时，|pq|2有最大值，|pq|的最大值为。
9．设抛物线c：x2＝2py(p＞0)的焦点为f，准线为l，a为c上一点，已知以f为圆心，fa为半径的圆f交l于b，d两点．
1)若∠bfd＝90°，△abd的面积为4，求p的值及圆f的方程；
2)若a，b，f三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与c只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
解 (1)由已知可得△bfd为等腰直角三角形，|bd|＝2p，圆f的半径|fa|＝p.
由抛物线定义可知a到l的距离d＝|fa|＝ p.
因为△abd的面积为4，所以|bd|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以f(0,1)，圆f的方程为x2＋(y－1)2＝8.
2)因为a，b，f三点在同一直线m上，所以ab为圆f的直径，∠adb＝90°.
由抛物线定义知|ad|＝|fa|＝|ab|.
所以∠abd＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.
由于n与c只有一个公共点，故δ＝p2＋8pb＝0，解得b＝－.
因为m的纵截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
10．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点p(1,2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)均在抛物线上．
1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
2)当pa与pb的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线ab的斜率．
解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
点p(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
2)设直线pa的斜率为kpa，直线pb的斜率为kpb，则kpa＝ (x1≠1)，kpb＝ (x2≠1)，pa与pb的斜率存在且倾斜角互补，∴kpa＝－kpb.
由a(x1，y1)，b(x2，y2)均在抛物线上，得。
y＝4x1，①
y＝4x2，②
＝－，y1＋2＝－(y2＋2)．
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