2023年4月北京各区一模解析几何试题。
海淀一模理）（3）在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是。
a） （b）
c） （d）
答案：a海淀一模理）（10）过双曲线的右焦点，且平行于经过。
一、三象限的渐近线的直线方程是。
答案： 海淀一模理）(19)（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且。
ⅰ）求椭圆的标准方程；
ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示。
ⅰ）证明：;
ⅱ）求四边形的面积的最大值。
ⅰ）解：设椭圆的标准方程为。
因为，所以。
所以2分。所以椭圆的标准方程为3分。
ⅱ）设，，，
ⅰ）证明：由消去得：.
则，5分。所以。
同理7分。因为，所以。
因为，所以9分。
ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为，则。
因为，所以10分。所以。或）
所以当时， 四边形的面积取得最大值为。
13分。西城一模解析）
西城一模解析）12. 在极坐标系中，极点到直线的距离是___
答案： 西城一模解析）14. 在直角坐标系中，动点，分别在射线和上运动，且△的面积为．则点，的横坐标之积为___周长的最小值是___
答案：，.已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点。试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
ⅰ）解：由， 得2分。
依题意△是等腰直角三角形，从而，故4分。
所以椭圆的方程是5分。
ⅱ）解：设，，直线的方程为。
将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得7分。
所以8分。若平分，则直线，的倾斜角互补，所以。 …9分。
设，则有。将，代入上式，整理得，所以12分。
将，代入上式，整理得13分。
由于上式对任意实数都成立，所以。
综上，存在定点，使平分14分。
东城一模解析）（13）抛物线的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点，且与准线相切的圆共有个．
答案： 东城一模解析）（13）抛物线的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点，且与准线相切的圆共有个．
东城一模解析）（19）（本小题共13分）
已知椭圆：的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点．
ⅰ）解：由已知2分。
解得4分。故所求椭圆方程为5分。
ⅱ）证明：由（ⅰ）知，，．
设，则．于是直线方程为，令，得；
所以，同理7分。
所以， .所以。
所以，点在以为直径的圆上9分。
设的中点为，则10分。
又， 所以。
所以． …12分。
因为是以为直径的圆的半径，为圆心，故以为直径的圆与直线相切于右焦点13分。
丰台一模解析）2．若变量x，y满足条件则的取值范围是。
a． b． c． d．
答案：d丰台一模解析）11．在平面直角坐标系xoy中，直线的参数方程是（t为参数）。以o为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆c的极坐标方程是则圆心到直线的距离是。
答案： 丰台一模解析）19．（本小题共14分）
已知椭圆的离心率为，且经过点m（一2，0）．
（i）求椭圆c的标准方程；
（ⅱ）设直线与椭圆c相交于两点，连接并延长交直线x=4于p，q两点，设分别为点p，q的纵坐标，且，求证直线过定点。
解：（ⅰ依题意，，所以2分。
因为， 所以3分。
椭圆方程为5分。
消y得6分。
因为，所以7分。
设直线ma：，则；同理………9分。
因为，所以， 即10分。
所以，所以，所以，得13分。
则，故过定点14分。
朝阳一模解析）8.已知点集，，点集所表示的平面区域与点集所表示的平面区域的边界的交点为。若点在点集所表示的平面区域内（不在边界上），则△的面积的最大值是。
abcd.
答案：b朝阳一模解析）9. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的离心率为其焦点到渐近线的距离为。
答案：朝阳一模解析）12.在极坐标系中，曲线和相交于点，则线段的中点到极点的距离是。
答案：2朝阳一模解析）19. （本小题满分14分）
已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直。
（ⅰ）求椭圆的方程；
（ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为。过点任作直线与椭圆。
相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式。
解： （依题意，所以。
故椭圆的方程为4分。
（ⅱ）当直线的斜率不存在时，由解得。
不妨设，因为，又，所以，所以的关系式为，即7分。
当直线的斜率存在时，设直线的方程为。
将代入整理化简得，.
设，，则9分。
又，.所以。
12分。所以，所以，所以的关系式为。……13分。
综上所述，的关系式为14分。
石景山一模解析）3.圆的圆心坐标是（ ）
答案：a石景山一模解析）
13．如图，圆内的正弦曲线与轴围成的区域记为(图中阴影部分)，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率是。
答案： 石景山一模解析）19．（本小题满分13分）
已知椭圆（）右顶点与右焦点的距离为，短轴长为。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若三角形的。
面积为，求直线的方程．
解：（ⅰ由题意1分。
解得2分 即：椭圆方程为3分。
（ⅱ）当直线与轴垂直时，此时不符合题意故舍掉4分。
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