2023年北京各城区解析几何一模二模试题汇编。
例1】（2023年昌平二模理科）（19）（本小题满分13分）
已知椭圆的左右焦点分别为，点为短轴的一个端点，.
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）如图，过右焦点，且斜率为的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为。
求证：为定值。
例2】（2023年东城二模理科）19.（本小题共13分）
已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
ⅰ）求椭圆方程；
ⅱ）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程。
例3】（2023年海淀二模理科）
19. （本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，其短轴两端点为。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）若是椭圆上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点。判断以为直径的圆是否过点，并说明理由。
例4】（2023年顺义二模理科）
19．（本小题共14分）
已知椭圆的两个焦点分别为和，离心率。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）设直线（）与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值。
例5】（2023年西城二模理科）
19）（本小题共14分）
设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），o为坐标原点。
ⅰ）如果点是椭圆w的右焦点，线段的中点在y轴上，求直线ab的方程；
ⅱ）设为轴上一点，且，直线与椭圆w的另外一个交点为c，证明：点与点关于轴对称。
2023年北京各城区解析几何一模二模试题汇编答案。
例1】（2023年昌平二模理科）19. （本小题满分13分）
解：（ⅰ由条件可知2分。
故所求椭圆方程为4分。
ⅱ）设过点的直线方程为5分。
由可得6分。
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立。
设点，则。8分。
因为直线的方程为：，直线的方程为9分。
令，可得，所以点的坐标10分。
直线的斜率为。
12分。所以为定值13分。
例2】（2023年东城二模理科）
19．（本小题共13分）
解（ⅰ）依题意有，．
可得，．故椭圆方程为分。
ⅱ）直线的方程为．
联立方程组。
消去并整理得．
设，．故，．
则。设的中点为．
可得，．直线的斜率为，又 ，所以．
当△为正三角形时，可得，
解得。即直线的方程为，或13分。
例3】（2023年海淀二模理科）
19. （本小题满分14分）
解：ⅰ）由已知可设椭圆的方程为1分。
由，可得2分。
解得3分。所以椭圆的标准方程为4分。
ⅱ）法一：设且，则5分。
因为，所以直线的方程为6分。
令，得，所以7分。
同理直线的方程为，求得8分。
9分。所以10分。
由在椭圆：上，所以11分。
所以13分。
所以，所以，以线段为直径的圆不过点14分。
法二：因为关于轴对称，且在轴上。
所以5分。因为在轴上，又关于轴对称。
所以6分。所以7分。
所以8分。设且，则9分。
因为11分。
所以12分。
所以13分。
所以，以线段为直径的圆不过点14分。
法三：设直线的方程为，则5分。
化简得到，所以，所以6分。
所以，所以7分。
因为关于轴对称，所以8分。
所以直线的方程为，即10分。
令，得到，所以11分。
12分。所以13分。
所以，以线段为直径的圆恒过和两点14分。
法4 :转化为文科题做，考查向量的取值}
例4】（2023年顺义二模理科）
19．（本小题满分14分）
解：（ⅰ由已知椭圆的焦点在轴上，，，2分。
椭圆的方程为———4分。
ⅱ），消去得。
直线与椭圆有两个交点，，可得（*）6分。
设，，弦长，——8分。
中点， 设，，，11分。
时，，—14分。或：
当且仅当时成立，.（用其它解法相应给分）
例5】（2023年西城二模理科）
19．（ⅰ解：椭圆w的右焦点为1分。
因为线段的中点在y轴上。
所以点的横坐标为。
因为点在椭圆w上，
将代入椭圆w的方程，得点的坐标为3分。
所以直线（即）的方程为或。……5分。
ⅱ）证明：设点关于轴的对称点为（在椭圆w上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点c重合，.
又因为直线与椭圆w的交点为c（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线7分。
以下给出证明：
由题意，设直线的方程为， ,则。
由。得9分。
所以，10分。
在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为11分。
设直线，的斜率分别为，则，……12分。
因为 13分。
所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称14分。
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