导读：由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。
1、（2023年全国高考题）椭圆的焦点为ff，点p为其上的动点，当∠fp f为钝角时，点p横坐标的取值范围是___
解：f1（－,0）f2（,0）,设p（3cos,2sin）为钝角。
=9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0
解得： ∴点p横坐标的取值范围是（）
点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
2、已知定点a(-1,0)和b(1,0)，p是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求的最大值和最小值。
分析：因为o为ab的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。
解：设已知圆的圆心为c，由已知可得：
又由中点公式得。
所以。又因为点p在圆(x-3)2+(y-4)2=4上。
所以且 所以。
即故。所以的最大值为100，最小值为20。
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。
3．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且。（1） 求的方程；
2）平面上的点满足，直线，且与交于两点，若，求直线的方程。
解：（i）由知。
设，，解得，在上，且椭圆的半焦距，于是，消去并整理得， 解得（不合题意，舍去）。
故椭圆的方程为6分。
ii）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率。
设。由。设，所以
因为，所以，解得。
故所求直线的方程为或14分。
4．本小题满分12分
设点为坐标原点，曲线上有两点、关于直线对称，又满足
1) 求的值；
2) 求直线的方程。
解：ⅰ）由题知，曲线e为圆，圆心，半径为3，由在l上，得。……4分。
ⅱ）（法一）如图，设直线pq的方程为。
直线pq与圆c有二个交点，故
6分。将直线方程代入圆c方程得：
设9分。10分。
∴ ∴经检验符合题意11分。
故直线pq的方程为12分。
法二）如图，设pq的中点为d6分。
又∵ …8分。
10分。解之得： ∴12分。
5．(本题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，a为右顶点，k为右准线与x轴的交点，且。
i)求椭圆的标准方程；
ii )设椭圆的上顶点为b，问是否存在直线l,使直线l交椭圆于c，d两点，且椭圆的左焦点巧恰为δbcd的垂心？若存在，求出l的方程r若不存在，请说明理由。
解：（ⅰ设焦点坐标为f1(-c，0)，f2(c，0)，由，得． ①
由题知 a(a，0)，k(，0)，∴c-a，0)，=a，0)，由得 ②
由①、②解得，c=1，从而b2=a2-c2=1，即b=1．
椭圆方程为4分。
ⅱ）假设存在直线l满足题意，b(0，1)，f1(-1，0)，于是直线f1b的斜率为．
由于bf1⊥cd，令l：y=-x+m，代入x2+2y2=2整理，得。
3x2-4mx+2m2-2=0.
令c(x1，y1)，d(x2，y2)，则。
又=(x1+1，y1)·(x2，y2-1)=x1x2+x2+y1y2-y1=x1x2+x2+(m-x1)(m-x2)-(m-x1)
2x1x2+m2-m(x1+x2)-m+(x1+x2)=2x1x2 +(1-m)(x1+x2) +m2-m，由，代入x1+x2，x1x2得，整理得3m2+m-4=0，解得m=1或10分。
当m=1时，直线l恰过b点，于是b、c、d不构成三角形，故m=1舍去．
当的，满足δ=8(3-m2)>0．
故所求的直线l为：，即3x+3y+4=012分。
6．（本小题满分12分）直线与椭圆交于，两点，已知， ，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；
ⅲ）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。
解析：2分。
椭圆的方程为3分。
（ⅱ）依题意，设的方程为。由 显然。
5分。由已知得：
解得6分。7．（本小题满分12分）
已知椭圆上的任意一点到它两个焦点的距离之和为，且它的焦距为2．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）已知直线与椭圆交于不同两点，且线段的中点不在圆内，求实数的取值范围。
解：（ⅰ由题，椭圆中，…2分。
而1分。故椭圆的方程为………2分。
8．(本小题满分12分)
已知双曲线与圆相切，过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切．
ⅰ）求双曲线的方程；
ⅱ）是圆上在第一象限的点，过且与圆相切的直线与的右支交于、两点，的面积为，求直线的方程．
解：（ⅰ双曲线与圆相切2分。
过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切，得，既而。
故双曲线的方程为5分。
ⅱ）设直线：，，
圆心到直线的距离，由得………6分。
由得 则8分。
又的面积，∴…10分。
由， 解得，直线的方程为12分。
9．（本小题满分10分）已知是曲线：的两条切线，其中是切点，i）求证：三点的横坐标成等差数列；
ii）若直线过曲线的焦点，求面积的最小值；
1）证明：，设、；
直线的方程为 ① 直线的方程为 ②
-②得：点的横坐标，所以点的横坐标成等差数列；…4分。
2）焦点的坐标为（0，1），显然直线的斜率是存在的；
设直线的方程为。
将直线的方程代入得： （恒成立）
且又由①②得：
从而点到直线的距离， …8分。
当且仅当时取等号；
故面积的最小值为10分。
10．(本题满分12分)如图，在平面直坐标系中，已知椭圆，经过点，其中e为椭圆的离心率．且椭圆与直线有且只有一个交点。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）设不经过原点的直线与椭圆相交与a，b两点，第一象限内的点在椭圆上，直线平分线段，求：当的面积取得最大值时直线的方程。
2023年高考新课标理科数学解析几何专项训练学生版
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暑期数学 解析几何
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