2023年高考数学文试题分类汇编。
解析几何。一、选择题。
1、（2023年北京高考）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为。
a）1 （b）2 （c） （d）2
答案】c2、（2023年山东高考）已知圆m：截直线所得线段的长度是，则圆m与圆n：的位置关系是。
a）内切（b）相交（c）外切（d）相离。
答案】b3、（2023年四川高考）抛物线y2=4x的焦点坐标是。
a)(0,2) (b) (0,1) (c) (2,0) (d) (1,0)
答案】d4、（2023年天津高考）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为。
a） （b）
c） （d）
答案】a5、（2023年全国i卷高考）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为。
a）（b）（c）（d）
答案】b6、（2023年全国ii卷高考）设f为抛物线c：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与c交于点p，pf⊥x轴，则k=（
ab）1cd）2
答案】d7、（2023年全国iii卷高考）已知o为坐标原点，f是椭圆c：的左焦点，a，b分别为c的左，右顶点。p为c上一点，且轴。
过点a的直线l与线段交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为。
abcd）答案】a
二、填空题。
1、（2023年北京高考）已知双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ,0），则a=__b
答案】2、（2023年江苏省高考）在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距是。
答案】3、（2023年山东高考）已知双曲线e：–=1（a>0，b>0）．矩形abcd的四个顶点在e上，ab，cd的中点为e的两个焦点，且2|ab|=3|bc|，则e的离心率是___
答案】 4、（2023年上海高考）已知平行直线，则的距离。
答案】5、（2023年天津高考）已知圆c的圆心在x轴的正半轴上，点在圆c上，且圆心到直线的距离为，则圆c的方程为。
答案】6、（2023年全国i卷高考）设直线y=x+2a与圆c：x2+y2-2ay-2=0相交于a，b两点，若，则圆c的面积为 .
答案】7、（2023年全国iii卷高考）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则。
答案】48、（2023年浙江高考）已知，方程表示圆，则圆心坐标是___半径是___
答案】；5．
三、解答题。
1、（2023年北京高考）已知椭圆c：过点a（2,0），b（0,1）两点。
i）求椭圆c的方程及离心率；
ⅱ）设p为第三象限内一点且在椭圆c上，直线pa与y轴交于点m，直线pb与x轴交于点n，求证：四边形abnm的面积为定值。
解：（i）由题意得，，．
所以椭圆的方程为．
又，所以离心率．
ii）设（，）则．
又，，所以，直线的方程为．
令，得，从而．
直线的方程为．
令，得，从而．
所以四边形的面积。
从而四边形的面积为定值．
2、（2023年江苏省高考）
如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以m为圆心的圆m:及其上一点a(2，4)
1）设圆n与x轴相切，与圆m外切，且圆心n在直线x=6上，求圆n的标准方程；
2）设平行于oa的直线l与圆m相交于b、c两点，且bc=oa,求直线l的方程；
3）设点t（t,o）满足：存在圆m上的两点p和q,使得，求实数t的取值范围。
解：圆m的标准方程为，所以圆心m(6，7)，半径为5,.
1）由圆心n在直线x=6上，可设。因为圆n与x轴相切，与圆m外切，所以，于是圆n的半径为，从而，解得。
因此，圆n的标准方程为。
2)因为直线oa，所以直线l的斜率为。
设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心m到直线l的距离。因为 而
所以，解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
3)设 因为，所以……①
因为点q在圆m上，所以…….
将①代入②，得。
于是点既在圆m上，又在圆上，从而圆与圆有公共点，所以解得。
因此，实数t的取值范围是。
3、（2023年山东高考）已知椭圆c:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.
i）求椭圆c的方程；
ⅱ)过动点m(0，m)(m>0)的直线交x轴与点n，交c于点a，p(p在第一象限)，且m是线段pn的中点。过点p作x轴的垂线交c于另一点q，延长线qm交c于点b.
i)设直线pm、qm的斜率分别为k、k'，证明为定值。
ii)求直线ab的斜率的最小值。
解析：(ⅰ设椭圆的半焦距为c，由题意知，所以，所以椭圆c的方程为。
ⅱ)(i)设，由m(0,m)，可得
所以直线pm的斜率，直线qm的斜率。
此时，所以为定值-3.
ii)设，直线pa的方程为y=kx+m，直线qb的方程为y=-3kx+m.
联立，整理得。
由可得，所以，同理。
所以，所以
由，可知k>0，所以，等号当且仅当时取得。
此时，即，符号题意。
所以直线ab 的斜率的最小值为。
4、（2023年上海高考） 双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，直线l过f2且与双曲线交于a、b两点。
1）若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
2）设，若l的斜率存在，且|ab|=4，求l的斜率。
解析：（1）设．
由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
2）由已知，．
设，，直线．
由，得．因为与双曲线交于两点，所以，且．
由，，得，故，解得，故的斜率为．
5、（2023年四川高考）已知椭圆e： +1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点p(，)在椭圆e上。
ⅰ)求椭圆e的方程；
ⅱ)设不过原点o且斜率为的直线l与椭圆e交于不同的两点a，b，线段ab的中点为m，直线om与椭圆e交于c，d，证明：︳ma︳·︳mb︳=︳mc︳·︳md︳
解：）由已知，a=2b.
又椭圆过点，故，解得。
所以椭圆e的方程是。
）设直线l的方程为， ，由方程组得，①
方程①的判别式为，由，即，解得。
由①得。所以m点坐标为，直线om方程为，由方程组得。所以。又。
所以。6、（2023年天津高考）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率。
解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为。
2）设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由方程组消去，整理得，解得或，由题意得，从而，由（1）知，设，有，由，得，所以，解得，因此直线的方程为，设，由方程组消去，得，在中， ，即，化简得，即，解得或，所以直线的斜率为或。
7、（2023年全国i卷高考）在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点m，交抛物线c：于点p，m关于点p的对称点为n，连结on并延长交c于点h.
i）求；）除h以外，直线mh与c是否有其它公共点？说明理由。
解析】（ⅰ由已知可得，
又∵与关于点对称，故。
直线的方程为，代入，得：解得：，
是的中点，即．
ⅱ）直线与曲线除外没有其它公共点．理由如下：
直线的方程为，即，代入，得。
解得，即直线与只有一个公共点，所以除外没有其它公共点．
8、（2023年全国ii卷高考）已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线交与，两点，点在上，ⅰ）当时，求的面积；
ⅱ）当时，证明：.
解析：（ⅰ设，则由题意知。
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，又，因此直线的方程为。
将代入得，解得或，所以。
因此的面积。
2）将直线的方程代入得。
由得，故。由题设，直线的方程为，故同理可得。
由得，即。设，则是的零点，所以在单调递增，又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以。
9、（2023年全国iii卷高考）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
i）若**段上，是的中点，证明；
ii）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程。
ⅱ）设与轴的交点为，则。
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为。
当与轴不垂直时，由可得。
而，所以。当与轴垂直时，与重合。所以，所求轨迹方程为。 .12分。
10、（2023年浙江高考）如图，设抛物线的焦点为f，抛物线上的点a到y轴的距离等于|af|-1.
i）求p的值；
ii）若直线af交抛物线于另一点b，过b与x轴平行的直线和过f与ab垂直的直线交于点n，an与x轴交于点m.求m的横坐标的取值范围。
解析：(ⅰ由题意可得抛物线上点a到焦点f的距离等于点a到直线x=-1的距离。
由抛物线的第一得，即p=2.
ⅱ)由(ⅰ)得抛物线的方程为，可设。
因为af不垂直于y轴，可设直线af:x=sy+1, ,由消去x得。
故，所以。又直线ab的斜率为，故直线fn的斜率为，从而的直线fn:，直线bn:，所以，设m(m,0),由a,m,n三点共线得：，于是，经检验，m<0或m>2满足题意。
综上，点m的横坐标的取值范围是。
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