圆锥曲线是高考命题的热点，也是难点。纵观近几年的高考试题，对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现，而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时，多以综合解答题的形式考查，属于中高档题。
考试要求 ⑴了解圆锥曲线的实际背景；⑵掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；⑶了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质；⑷了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单几何性质；⑸了解圆锥曲线的简单应用；⑹掌握数形结合、等价转化的思想方法。
题型一圆锥曲线的定义及应用。
例⑴已知点为椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值和最小值分别为。
⑵已知双曲线的虚轴长为，离心率为，、分别是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，且是与的等差中项，则。
易错点：在本例的两个小题中，⑴正确应用相应曲线的定义至关重要，否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两焦半径的大小关系容易出现解题错误；⑶由、、三点共线求出的最值也是值得注意的问题。
变式与引申。
1.已知为抛物线上任一动点，记点到轴的距离为，对于给定的点，的最小值为( )
abcd.
2.设、分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与相交于、两点，且是与的等差中项，则。
题型二圆锥曲线的标准方程。
例2 已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点。
⑴求椭圆的离心率；
⑵设，又，为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程。
易错点：忘记用第⑴小问的答案；记错重心坐标公式；联立、的方程后，计算错、坐标。
变式与引申。
3.求经过两点和的椭圆的标准方程。
4.已知椭圆与直线相交于、两点，是的中点，若，的斜率为，求椭圆的方程。
题型三圆锥曲线的几何性质。
例如图，已知为椭圆的左焦点，过点作斜率为(为半焦距)的直线交椭圆于点、两点。
⑴若直线的倾斜角为，求证： (为椭圆的离心率)；
⑵若，且，求椭圆的离心率的取值范围。
易错点：问题⑴中忽视斜率的正负，会导致的符号出错；问题⑵中不适时联想平几性质，解题思路将受阻。
变式与引申。
5.给定抛物线：,过点斜率为的直线与交于，两点。
(ⅰ)设线段的中点在直线上，求的值；
(ⅱ)设， ,求的取值范围。
题型四以圆锥曲线为载体的探索性问题。
例已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点。当的斜率为时，坐标原点到的距离为。
⑴求、的值；
⑵上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的点的坐标与的方程。若不存在，说明理由。
在、之间),为坐标原点。
⑴若， ,求的面积；
⑵对于任意的动直线，是否存在常数，总有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
本节主要考查：
⑴知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质(焦点、离心率、焦点三角形，焦半径等)以及这些知识的综合应用；
⑵以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题；
⑶圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化” 等解析几何的基本方法；
⑷数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力。
点评：⑴圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，同时又是高考的热点和压轴点之一，主要考查圆锥曲线的定义(如例)与性质(如例)、求圆锥曲线方程(如例)、直线与圆锥曲线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题(如例)等。
⑵圆锥曲线的定义，揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题，恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题，可避免繁琐的推理与运算。
⑶求圆锥曲线的标准方程：①定型——确定是椭圆、抛物线、或双曲线；②定位——判断焦点的位置；③定量——建立基本量、、的关系式，并求其值；④定式——据、、的值写出圆锥曲线方程。
⑷圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的重点热点。此类问题，它源于课本，又有拓宽引申、高于课本，是高考试题的题源之一，应引起重视，注意掌握好这一类问题的求解方法与策略。如对于求离心率的大小或范围问题，只需列出关于基本量、、的一个方程(求大小)或找到关于基本量、、间的不等关系(求范围)即可。
⑸求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题，主要有两种求解方法：一是根据题给条件建立含参数的等式后，再分离参数求其值域；另一是正确列出含参数的不等式，进而求之。其列不等式的思路有：
①运用判别式或；②点在圆锥曲线内部(一侧)或外部(另一侧)；③利用圆锥曲线的几何意义(如椭圆中等)；④根据三角形两边之和大于第三边(注意三点共线的情况).
⑹解有关圆锥曲线与向量结合的问题时，通性通法是向量坐标化，将一几何问题变成纯代数问题。
⑺探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，它要求学生具有观察分析问题的能力、具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神。解题思路往往是先假设满足题意，即从承认结论、变结论为条件出发，然后通过归纳，逐步探索待求结论。
习题6-2已知椭圆中心在原点，左、右焦点、在轴上，、是椭圆的长、短轴端点，是椭圆上一点，且轴， ,则此椭圆的离心率是( )
abcd.
2.过抛物线的焦点f作直线，交抛物线于a、b两点，交其准线于c点，若，则直线的斜率为。
已知定点， ,定直线：,不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍。设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、.
⑴求的方程；
⑵试判断以线段为直径的圆是否过点，并说明理由。
如图，已知直线：与抛物线：交于、两点，为坐标原点，.
⑴求直线和抛物线的方程；
⑵若抛物线上一动点从到运动时，求面积的最大值。
第二节【答案】
变式与引申。
1. c提示：如图6-2-1,点到轴的距离比到准线的距离(即)少，∴
而点在抛物线外，∴的最小值为。
2.提示：由椭圆定义知，又，∴,
3. 解法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，依题意有，解得。
②当焦点在轴上时，同理解得， ,舍去。椭圆的方程为。解法二：
设所求椭圆方程为。依题意有，解得。
故所求椭圆的方程为。
4. 解法一：设， ,代入椭圆方程得， ,相减得。
∵, 由，得。∴,又，.将代入，解得，∴.故椭圆方程为。
解法二：由，得。设， ,则，∴,
设，则， ,代入①,得，.
故椭圆方程为。
5. 解：(ⅰ过点斜率为的直线为， 将代入方程，得。 ①设， ,则有，.
线段的中点在直线上，∴,即，得(此时①式的判别式大于零).
ⅱ)由，得，即。 由②,得。
由①、③得，易知，∴,又，∴,即，得，解得或，故的取值范围是。
6. 解：⑴由题意，直线的方程为。设点， ,由，得。
则， ,设点，则。由、、三点共线得。由得点到轴距。
离与到直线：距离相等，即，∴,把，代入，得，即，∴,解得。故存在常数，总有。
习题6-2 b. 提示：设椭圆的方程为，则， ,由。
轴， ,得，∴,即，解得，故椭圆的离心率。选b.
2.提示：过点b向准线作垂线，垂足为m，可知，所以直线的斜率为。
解：⑴设，则，化简得。
⑵①当直线与轴不垂直时，设的方程为，与双曲线联立消去。
得。由题意知且。设， ,则，.,的方程为，∴点的坐标为， ,同理可得，因此。
②当直线与轴垂直时，其方程为，则， ,的方程为，∴点的。
坐标为， ,同理可得，因此。
综上，即，故以线段为直径的圆经过点。
解：⑴由，得。设， ,则，∵,解得，故直线的方程为，抛物线的方程。
解法一：由，得，∴
设，∵为定值，∴当点到直线的距离最大时，
的面积最大。而，又，∴当时，∴当点坐标为时，面积的最大值为。
解法二：设，依题意，抛物线在点处的切线与平行时，的面积最大。∵,此时点到直线的距离。
由，得，∴,故面积的最大值为。
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