淮海工学院。
14 –15学年第1学期线性代数期末试卷a评分标准。
1、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）
1. 设均为阶方阵，则b ）
abcd)
2. 下列命题正确的是c ）
a) 若，则b) 若，则或。
c) 若，则 (d) 若，则。
3. 设为阶可逆矩阵，是非零常数，则c ）
abcd)
4. 若矩阵的秩，则的值为a ）
a) 0b) 0或-1c) -1d) -1或1
5. 向量组线性无关的充要条件为c ）
a) 均不是零向量。
b) 中任意两个向量的分量不成比例。
c) 中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出。
d) 中一部分向量线性无关。
6. 非齐次线性方程组中未知数个数为，方程个数为，系数矩阵的秩为，则a ）
a）时，方程组有解 （b）时，方程组有惟一解
c）时，方程组有惟一解 （d）时，方程组有无穷多解。
7. 设是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于b )
a) 1/2b) 3/2c) 3d) 1/3
8. 为阶方阵，则下列说法中正确的是b ）
a) 若可对角化，则为对称阵 (b) 若为对称阵，则可对角化。
c) 若可对角化，则必可逆 (d) 若可逆，则可对角化。
2、填空题（本题共6小题，每空2分，共16分）
1. 设，，则， 9 .
2. 设，线性相关，则= 2/3 .
3. 设向量，，，则满足的向量。
4. 设，为方程组的个解，其中，则 -22
5. 向量与正交，则 1 .
6. 设是矩阵的特征值，则 1 .
3、解答题（本大题共8小题，前4题每题7分，后4题每题8分）
1. 计算行列式。解3’
2. 设为3阶方阵， =2，则的值。解2’
3. 设3阶矩阵满足关系式，其中， 求。
解：因为2’
所以3’4. 判断矩阵中列向量组的线性相关性。
解设， 比较两端的对应分量可得。
即．因为未知量的个数是4, 而4’
所以有非零解， 由定义知线性相关3’
或直接由即可得线性相关。
5. 求下面矩阵的秩，以及列向量组的一个最大无关组：解因为。
所以矩阵的秩为32’
第列构成一个最大无关组2’
6. 设， 求齐次线性方程组的一个基础解系。
解4’同解方程组为。
依次取， 可求得基础解系4’
7. 设是非齐次线性方程组的一个解， …是其导出组的一个基础解系， 证明：
(1), 线性无关
(2), 线性无关
证明 (1)反证法， 假设，…线性相关因为…线性无关而，…线性相关所以可由…线性表示且表示式是唯一的这说明也是齐次线性方程组的解矛盾4’
(2)显然向量组，, 与向量组，…可以相互表示故这两个向量组等价而由(1)知向量组，…线性无关所以向量组，, 也线性无关4’
8. 判断矩阵与矩阵是否相似。
解先分别求与的特征值。由。
得，的特征值3’
由。得的特征值3’
与的特征值相同，则都与对角阵相似，因此与相似。 2’
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