老师：耿宏雷学生：__科目： 数学时间：2024年___月__日第___次。
数论（一） 奇数与偶数。
知识点概述】
1.奇数和偶数的定义：
整数可以分成奇数和偶数两大类。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质：
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数的和或差是偶数。
性质4：奇数个奇数的和或差是奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数。
性质6：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。
性质7：对于任意2个整数a,b ,有a+b与a-b同奇或同偶。
性质8：奇数的平方可以写作 4k+1 ，偶数的平方可以写作 4k
习题精讲】例1】下列算式的得数是奇数还是偶数？
例2】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。
例3】能否从四个3，三个5，两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22
例4】是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)=115?
例5】是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？
例6】你能不能将自然数1到9分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？
例7】任意交换某个三位数的数字顺序，得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？
例8】两个四位数相加，第一个四位数每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置，两个数的和可能是7356吗？为什么？
例9】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？
例10】a、b、c三个数的和与它们的积的和为奇数，问这三个数中有几个奇数？
例11】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：8丛植物上能否一共结有225个浆果？说明理由．
例12】在ll张卡片上各写有一个不超过4的数字．将这些卡片排成一行，得到一个1l位数；再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个1l位数．证明：这两个11位数的和至少有一位数字是偶数．
例13】圆桌旁坐着2k个人，其中有k个物理学家和k个化学家，并且其中有些人总说真话，有些人则总说假话．今知物理学家中说假话的人同化学家中说假话的人一样多．又当问及：“你的右邻是什么人”时，大家全部回答：“是化学家．”证明：
k为偶数．
作业】1、是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？
若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
2、能否从这8个数中选出3个数来，使它们的和为24？
3、将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045
4、你能不能将整数数0到8分别填入3×3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是奇数？
5. 黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？
6.一队小朋友表演球操，每人都拿着一个球，其中拿篮球的人比拿排球的多1人，拿排球的人比拿足球的多1人。
（1）如果拿足球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？
（2）如果拿排球的人数是奇数，这队小朋友的人数是奇数还是偶数？
数论（二） 数的整除。
专题知识点概述】
一、常见数字的整除判定方法。
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被或13整除，
那么这个数能被或13整除。
以上规律仅在十进制数中成立。）
5. 部分特殊数的分解：1001=7×11×13；111111=111×1001
二、整除性质。
1)性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．
再看下面这个问题：2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：
2)性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
3)性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．
4)性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
5)性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．
如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
6)性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除．
如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；
习题精讲】例1】（难度级别 ※）
已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？
例2】（难度级别 ※）
173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
例3】（难度级别 ※※
由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
例4】（难度级别 ※※
图书馆有一些书，总数在1000本以内，如果24本包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本包成一捆，则最后一捆还是差2本；若按32本包成一捆，则最后一捆是30本，那么这批图书共有多少本？
例5】（难度级别 ※※
某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？
例6】（难度级别 ※※
从这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被整除，这个数最大是多少？
例7】（难度级别 ※※
修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？
例8】（难度级别 ※※
某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？
例9】（难度级别 ※※
在下面的方框中各填一个数字，使六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？
例10】（难度级别 ※※
已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
例11】（难度级别 ※※
用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？
例12】（难度级别 ※※
将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？
例13】（难度级别 ※※
将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数： 12345678910111213……。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？
例14】（难度级别 ※※
1至9九个数字，按顺时针次序为1，9，3，4，2，6，8，5，7排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是***和758624391）。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？
例15】（难度级别 ※※
在……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除。
作业】1. 六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？
2. 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
3. 一个数的40倍减1能被97整除，这样的自然数中最小的是多少？
4. 已知中一共重复了20次。那么这个数被37除得的余数是多少？
5. 有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。请找出700到1000之间，所有满足上述条件的自然数。
6. 如果能被31整除，那么自然数n应满足什么条件？
六年级奥数 数论专题复习
1 有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数。为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少？2 有3个自然数，其中每一个都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除。那么这样的3个自然数的和最小值是多少？3 在小于5000的自然数中，能...
六年级奥数讲义 数论
第三讲。数论。1 某个自然数被除余，被除也余，那么这个自然数被除的余数是 分析 可推知这个数为。被除的余数是。2 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是，如果把所有这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是 分析 所以最大的为 第二个分数为 3 在至之间，有三个连续自然数，其中。最小的能被整除，...
六年级奥数 数论综合
第19讲数论综合。知识点精讲。一 特殊数的整除特征。1.尾数判断法。1 能被2整除的数的特征 2 能被5整除的数的特征 3 能被4 或25 整除的数的特征 4 能被8 或125 整除的数的特征 2.数字求和法 3.99的整除特性 4.奇偶位求差法 5.三位截断法 特别地 7 11 13 1001，a...