第19讲数论综合。
知识点精讲。
一、 特殊数的整除特征。
1. 尾数判断法。
1) 能被2整除的数的特征：
2) 能被5整除的数的特征：
3) 能被4（或25）整除的数的特征：
4) 能被8（或125）整除的数的特征：
2. 数字求和法：
3. 99的整除特性：
4. 奇偶位求差法：
5. 三位截断法：
特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001
二、 多位数整除问题。
技巧：1>目的是使多位数“变短”，途径是结合数的整除特征和整除性质。
2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。
三、 质数合数。
1. 基本定义。
质数】——合数】——
注：自然数包括、质数、合数。
质因数】——
分解质因数】——
用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：n=a1×a2×a3×……an，其中a1、a2、a3……an都是合数n的质因数，且a1【互质数】——
偶数】——奇数】——
2. 质数重要性质。
1) 100以内有25个质数：
2) 除了2和5，其余的质数个位数字只能是：
3) 1既不是质数，也不是合数。
4) 在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数。
5) 最小的质数是2.最小的奇质数是3
6) 有无限多个。
3. 质数的判断：
1) 定义法：判断整除性。
2) 熟记100以内的质数。
3) 平方判断法：
例如：对2011，首先442<2011<452，然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数。
4. 合数。
1) 无限多个。
2) 最小的合数是4
3) 每个合数至少有三个约数。
5. 互质数。
1) 什么样的两个数一定是互质数？
注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式。因此，要分解的合数应写在等号左边，如：21=37,不能写成：37=21.
6. 偶数和奇数。
1) 0属于偶数。
2) 十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数。
3) 除2外所有的正偶数均为合数。
4) 相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数是他们乘积的一半。
5) 奇±奇=偶偶±偶=偶偶±奇=奇奇×奇=奇偶×奇=偶偶×偶=偶。
四、 约数与倍数。
1. 约数与倍数概念：
2. 一个数约数的个数：
3. 平方数与约数个数的关系：
4. 最大公约数与最小公倍数求法：
分解质因数：
辗转相除法：
5. 两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。
6. 分解质因数的作用。
整除问题。例题1 求无重复数字，能被75整除的五位数．
例题2 将自然数依次重复写下去组成一个1993位数，试问这个数能否被3整除？
例题3 一个五位数同时是11与25的倍数，求这个五位数．
例题4 （1）一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？
2）一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？
例题5 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？
例题6 有5个连续质数的乘积是一个形如“□△的六位数，如果其中的“□”和“△”各代表一个数字，那么这个六位数是。
例题7 如果六位数既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少？
例题8 一个三位数的各个数字互不相同，且能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除．这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？
例题9 将自然数1，2，3，……依次写下去形成一个多位数“12345678910111213…”．当写到某个数n时，所形成的多位数恰好第一次被90整除．请问：n是多少？
质数与合数。
例题10 请把下面的数分解质因数：
例题11 算式的计算结果的末位有多少个连续的0？
例题12 100！末尾有多少个连续的0？
例题13 甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪．三人各自中靶的环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数．把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙．请问：靶子上4环的那一枪是谁打的？
例题14 （1）60乘以一个三位数后，正好得到一个平方数．这个三位数至少是多少？
2）72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这样的三位数一共有多少个？
例题15 把从1开始的若干个连续的自然数1，2，3，…，乘到一起．已知这个乘积的末尾13位恰好都是0．请问：
1）最后出现的自然数最小应该是多少？
2）若称除以12为一次操作，设（1）**现的最小自然数为n，对n！至少进行几次操作，最后的结果才会出现余数？
例题16 把这9个数分成3组，使每组中3个数的乘积都相等？
例题17 从1！，2！，3！，…100！这100个数中去掉一个数，使得剩下的各数乘积是一个完全平方数．请问：去掉的那个数是什么？
约数与倍数。
例题18 480有多少个约数？ 1440的所有约数的和是多少？
例题19 求一组分数、、 的最大公约数．
例题20 已知两个自然数的差为4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为252，求这两个自然数．
例题21 两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，那么这两个数的差有几种可能？
例题22 已知a有6个约数，b有10个约数，且a、b的最大公约数是12，求a与b．
例题23 甲数有15个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数的最小公倍数是720，求甲、乙两数各是多少？
例题24 两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？
例题25 老师在黑板上写下三个数：108,396，a，让同学们求它们的最小公倍数．小马虎误将108当做180进行计算，结果竟然与正确答案一致．a最小等于几？
例题26 大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发，沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地里只留下60个脚印．问这个花圃的周长是多少？
余数计算、物不知数与同余。
例题27 有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8，7，6，5根为一包，最后分别剩7，6，5，4根．原来一共有牙签多少根？
例题28 一个三位数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？
例题29 有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1．请问：这个数除以12余数是几？
例题30 100多名小朋友站成一列．从第一人开始依次按1，2，3，，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按1，2，3，，13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11．请问：一共有多少名小朋友？
例题31 的个位数字是___
例题32 除以所得的余数分别是。
例题33 一个自然数除以2的商是一个自然数的平方，而除以3的商是一个自然数的立方，符合条件的最小的自然数是。
综合练习题。
例题34 求满足下面条件的整数a、b：
例题35 一个能被99整除，各位数字互不相同的最小六位数是多少？
例题36 用1,2,3,4,5,6,7七个数字组成三个两位数和一个一位数，并且使这四个数之和等于100,要求最大的两位数尽可能大，那么，最大的两位数是。
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