第三讲。数论。
1、 某个自然数被除余，被除也余，那么这个自然数被除的余数是
分析】 可推知这个数为。被除的余数是。
2、 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是，如果把所有这样的分数从大到小排列，那么第二个分数是 。
分析】 所以最大的为：，第二个分数为：。
3、 在至之间，有三个连续自然数，其中。最小的能被整除，中间的能被整除，最大的能被整除，那么，这样的三个连续自然数是。
分析】 运用中国剩余定理，可求出满足条件的三个连续自然数为： 。
4、 先任意指定个整数，然后将它们按任意顺序填入方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。最后，将所有同一列的两个数之和相乘。那么，积是数。
(填奇或偶)。
分析】 运用假设法，带入这个整数计算。可得知积应为偶数。
5、 将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘积等于，那么，这两个三位数的和等于 。
分析】 ，所以这两个三位数的和等于。
6、 ，除以余，除以余，除以余，这个数最小是（ ）
分析】 运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：。
7、 一位现在一百多岁的老寿星，公元时的年龄为岁，则此老寿星年多少岁？
分析】 ，老寿星出生于：，所以年为：岁。
8、 两个连续自然数的平方和等于，又有三个连续自然数的平方和等于，则这两个连续自然数为___这三个连续自然数为___
分析】 所以这两个连续自然数为、，，所以这三个连续自然数为、、。
9、 已知都是自然数，且=，则的最小值为。
分析】 所以，最小值为。
10、 学校新买来个乒乓球，个乒乓球拍和个乒乓球网，如果将这种物品每样均平分给每个班，那么这三种物品剩下的数量相同，请问学校有多少个班？
分析】 ，利用被除数之间的差能被除数整除的原则，求出所以学校有个班。
例1】 在一位自然数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有可能的乘积的总和是。
分析】 。例2】 将～九个自然数分成三组，每组三个数。第一组三个数之积是，第二组三个数之积是，第三组三个数之和最大是。
分析】 ，所以第三组之和最大为：。
例3】 余。
分析】 观察找规律，，，每个一循环，所以余。
例4】 名学生成一横排，第一次从左至右—报数，第二次从右至左—报数，两次报的数之和等于的学生有名。
分析】 ，观察找规律，从右边起，每隔个数打一包，一包里有名同学符合条件。总共能打所以满足条件的学生共有名。
例5】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美。
妙数”。问：所有小于的美妙数的最大公约数是多少？
分析】 是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于。任何三个连续正整数，必有一个能为整除，所以，任何美妙数必有因子。若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子。
另外，由于完全平方数的个位数字只能是，，，若其个位是和，则中间的数能被整除；若其个位是和，则第一个数能被整除；若其个位是和，则第三个数能被整除。所以，任何美妙数必有因子。由于，，的最小公倍数是，所以任何美妙数必有因子，故所有美妙数的最大公约数至少是。
综上，所有美妙数的最大公约数既不能大于，又至少是，所以，只能是。
例6】 称能表示成的形式的自然数为三角数。有一个四位数，它既是三角数，又是完全平方数。则＿。
分析】依题有，即。因为与是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数。又由相邻自然数互质知，“奇数”与“”也互质，于是奇数，（）而为四位数，有，即，又与相邻，有。
当时，，相邻偶数为时，满足条件，这时，即；当时，，相邻偶数为和都不满足条件；当时，，相邻偶数为和都不满足条件。所以，。
1、 有一个三位数能被整除，去掉末尾数字后所得的两位数恰是的倍数。在这样的三位数中最大的是 。
答案] 要三位数最大，前两位必须是，又它能被整除，所以为：。
2、 将写成一个循环小数，在这个循环小数的小数部分中截取连续的一段，使得折一段中的所有数字之和为。那么这一段数字中共有数字。
答案] 。3、 某八位数形如，它与的乘积形如，则七位数应是多少？
答案] 4、 有一类六位自然数，它们的前三位数组成的数与后三位数组成的数相同。求在这类自然数中，能被整除的最大数是多少？答案]
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