六年级。
第8讲。数论综合（一）
兴趣篇】4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其中百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数(例如，按此方法由247将得到)。已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数，原来的三位数是多少？
分析与解】一个是5的倍数，各4位数字均不为0，所以三位数中一定有一个是5。
能被7整除有。被5整除有，能被6整除有。经试得满足条件的三位数是656。
6．一个自然数n共有9个约数，而n—1共有8个约数。满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
分析与解】n要约数为9。n分解质因数指数必定是2与2，n—1要约数为8，n—1分解质因数指数必定是与1，n要最小，所以从2的2次乘3的3次，可是，n—1不符合，经试，只有196才符合，用同样的方法，得到第二小的是256。
10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到了保密的作用。有一天我军截获了敌军的一串密文：
a37|8b4|21c,字母表示还没有被破译出来的数字。如果知道密码满足如下条件：
密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；
三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；
三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数。
你能破解此密文吗？
分析与解】由①得，a不能为，b不能为，c不能为，21c÷12，当c为5时，余数是11，当c为8时，余数是2，当c为9时，余数是3，其它的不符合。
8b4÷12，当b为5时，余数是2，其它的不符合，所b只能是5，c只能是9。b、c是奇数，所以a只能是是偶数，a37÷12，有且只当a是4时，余数是5。
密文：a37|8b4|21c为437 854 219。
拓展篇】8.一个合数，其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数。
分析与解】一个合数，其最大的两个约数之和为1164，这两个数之间可以是两倍、三倍、
或11倍的关系，这样1164除去3乘2得第一个合数776，1164除去4乘3得第二个合数873，1164除去12乘11得第三个合数1067。所有满足要求的合数是。
9.已知a与b是两个正整数，且a＞b.请问：
如果它们的最小公倍数是36,那么这两个正整数有多少种情况？
如果它们的最小公倍数是120,那么这两个正整数有多少种情况？
分析与解】⑴36分解质因数，a＞b，当a=36时，b有8种情况，当a=18时，b有2种情况，当a=12时，b有1种情况，当a=9时，b有1种情况，所以最小公倍数是36,那么这两个正整数有12种情况。
120分解质因数，用⑴中的方法能解得最小公倍数是120,这两个正整数有31种情况。
12.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从a孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到a孔。
他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到b孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到b孔。最后他每隔6孔跳一步，正好回到4孔。
问这个圆圈上共有多少个孔？
分析与解】设这个圆圈有n个孔，那么有n除以3余1,n除以5余能被7整除．
则将n-1是的倍数，即是15的倍数，所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数，即15t+1=7a,将系数与常数对7取模，有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和。对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．超越篇】
有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数。请问：这6个数的和最小是多少？
分析与解】我们由题可以想到，这6个数能被7整除，被6除余3,可以得出这6个数分别是。这6个数的和最小是756。
设n=301×302×…×2005×2006，请问：
1) n的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
2)用n不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？
分析与解】(1)要求n的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”，我们只要计算n有多少个2乘5，在n中5的因数比2少，所以就只要求出多少个因数5就可以了。305-2005有341个5的倍数，325-2000有68个25的倍数，375-2000有14个125的倍数，625-1925有3个125的倍数，所以一共有341+68+14+3=426个。n的末尾一共会出现426个连续的数字“0”.
2)12=2×2×3,要求n一共可以除以多少次12,只要求n含有多少个2×2×3因式就可以了，用(1)的方法算出有多个的倍数的数，一共算得有1700个，3的倍数的有1526，2×2的因式有850个，3的因式有1526，所以一共可以除以850次12。
老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数。这个四位数是5的倍数。贝贝计算出它与5！
的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍。请问：
这个四位数是多少？
分析与解】贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍，这个四位数与5！的最小公倍数是贝贝的计算结果，显然这个数为4！的倍数，所知又为5！
的倍数，因为这个数与5！最小公倍数就是它本身，它与10！的最大公约数最小也是120，它本身必须包含600这个约数，而600也是10！
的约数，所以这个四位数就是3000。
一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除。这个正整数最小是多少？
分析与解】设这个正整数为a,则(75+a)×(48+a)=3600+a(75+48+a)是120的倍数，则a(75+48+a)= a(123+a), a(123+a)是120的倍数，则a是120的倍数或(123+a)是120的倍数，是要使正整数最小，我们只要使(123+a)是120的倍数，得a是240-123=117.这个正整数最小是117.
5．a、b、c是三个非零自然数。a和b的最小公倍数是300，c和a，c和b的最大公约数都是20，且a﹥b﹥c。请问：满足条件的a、b、c共有多少组？
分析与解】300=20×3×5，是a、b的最小公倍数，而20是a和c、b和c的最大公约数，所以。
a、b、c有7种可能，即。
a20×5 20×3×5 20×3×5 20×5
20×3×5b20×320 ×3 20 ×520×3
c 20 20 20 40 40 40 80
a﹥b﹥c，满足条件的a、b、c共有7组。
有一类三位数，它们除以所得到的余数互不相同（可以含0）。这样的三位数中最小的三个是多少？
分析与解】除以所得到的余数互不相同（可以含0），要求找到一个数能整除后有余数的数，所以先求最小公倍数，2×3×4×5×6=60，又因为是最小三位数，所以是120。当120减1得119，让119除以，所得的余数分别为；当120减2得118，让118除以，所得的余数分别为，当120减3得117，让117除以，所得的余数分别为，不符合，所以余数0不是除以，而除以都有了，所以只有除以5得0了，个位不能是0，因为是0的话能被动整除，所以个位只能是5了。经算只有155符合，所以第三小的是155，这样的三位数中最小的三个是。
有一个自然数除以所得到的商与余数之和都相等并且商和余数都大于1，那么这个自然数是多少？
分析与解】没有详细过程，这个自然数是1082.
有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除。请写出这4个数。
分析与解】没有详细过程，这4个数是。
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