摘要：1.用多种方法计算圆周率的值；2.通过实验来说明各种方法的优劣；
3.尝试提出新的计算方法。
1.古典方法：
用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近。
以阿基米德的圆内接96边形和圆外切96边形逼近为例。
已知：sin<推出：96 sin<< 96tan
编写matlab程序。
format long
x=sin(pi/96)
y=96*x
得：96sin=
format long
x=tan(pi/96)
y=96*x
得：96tan=
2. 分析方法。
1).由公式。
推出=4编写程序。
syms k
x=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,10)
y=4*x得出当k=10时，π≈3.232315809405593
编写程序。syms k
x=symsum((-1)^k/(2*k+1),k,0,20)
y=4*x得出当k=20时，π≈3.189184782277595
依次，加大k的值。
k=50，π≈3.161198612987050
k=100，π≈3.151493401070990
k=200，π≈3.146567747182986e+159
2).沃里斯(wallis)方法。
编写程序：format long
x=1;for k=1:10
x=x*(2*k/(2*k-1)*2*k/(2*k+1));
endy=2*x
得k=10时，π≈3.067703806643498
增加k的值。
k=20，π≈3.103516961539230
k=50，π≈3.126078***
k=100，π≈3.133787***
k=10000，π≈3.141514118681864
k=1000000，π≈3.141591868191880
3).利用公式。
推出π=4()
编写程序：syms n;
f1=(-1)^(n-1)*(1/2)^(2*n-1)/(2*n-1);
f2=(-1)^(n-1)*(1/3)^(2*n-1)/(2*n-1);
ans1=symsum(f1,n,1,79);
ans2=symsum(f2,n,1,79);
ans=vpa(4*(ans1+ans2),100)
得π≈3.4).麦琴(machin)给出。
推出π=4()
编写程序：syms n;
f1=(-1)^(n-1)*(1/5)^(2*n-1)/(2*n-1);
f2=(-1)^(n-1)*(1/239)^(2*n-1)/(2*n-1);
ans1=symsum(f1,n,1,28);
ans2=symsum(f2,n,1,28);
ans=vpa(4*(4*ans1-ans2),100)得π≈
3.概率方法。
编写程序：m=0;
for i=1:100000
x=rand;
y=rand;
if x^2+y^2<=1;
m=m+1;
else end
end4*m/100000
得π≈3.136000000000000
n=100000时，≈3.139920000000000
4.数值积分方法。
利用公式。设分点x1,x2,…xn-1将积分区间[0,1]分成n等分。
所有的曲边梯形的宽度都是h=1/n。记yi=
f(xi).则第i个曲边梯形的面积a近似地等于梯形面积，即：
a=(y(i-1)+yi)h/2。
将所有这些梯形面积加起来就得到：
a≈2/n[2(y1+y2+…yn-1)+y0+yn]
编写程序：n=10000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=1./(1+x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈3.1415926519
n=100000时，编写程序：
n=100000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=1./(1+x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)得π≈
也可利用积分公式。
编写程序：n=10000;
x=linspace(0,1,n+1);
y=sqrt(1-x.^2);
h=1/n;
ans=vpa(4*h*trapz(y),11)
得π≈3.1415914776
n=100000时，得π≈3.1415926164
1.古典方法：这种方法基于几何原理，计算量大，速度慢；
2.分析方法：(1) 逼近速度太慢，运算庞大，对速度造成了很大影响；
2)逼近速度还是较慢；
相比(1)(2)来说，(3)(4)的优势就显得十分明显，逼近的速度大大增加，而且麦琴(machin).准确求得了π的一百位小数；
3.概率方法：这样方法随机性很大，同一个实验次数，得出的π并不相同，有时差别还会很大，所以这种方法很难得到π较好的近似值；
4.数值积分法：还是不如分析方法中的(3)(4)，计算量较大。
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