数学建模作业

1 中国人口增长**模型。

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国经济发展的关键因素之一。我国人口发展经历了多个阶段，近年来的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速，出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。全面建设小康社会时期是我国社会快速转型期，人口发展面临着前所未有的复杂局面，人口安全面临的风险依然存在。

因此，如何准确地判断我国人口在未来若干年的发展趋势就显得非常重要。

logistic阻滞增长模型的原理。

logistic阻滞增长模型是荷兰生物数学家verhulst19世纪中叶提出的，它不仅能够较好地描述人口与许多生物数量的变化规律，而且在经济领域也有广泛的应用。阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，所谓阻滞增长模型就是对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得r随着人口数量的增加而下降。

若将表示为x的函数r( x) 。则它应是减函。于是有。

对的一个最简单的假定是，设为x的线性函数，即。

其中， r称为固有增长率，表示人口很少时，即x≈ 0时的增长率。设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称为人口容量。。当时人口不再增长，即增长率，代入(2)式得。

于是(2)式变为。

将它代入方程(1)得：

解方程(3)可得：

这就是我们下面要用的logistic方程。

1] 冯守平中国人口增长**模型 [n] 安徽科技学院学报 2008 - 09 – 15

2] 姜启源，谢金星，叶俊。数学模型[m ].北京：高等教育出版社， 2003

2中国经济增长模型。

一、引言。改革开放以来，中国成功地推进了经济体制的市场化进程，将中国经济融于世界经济，取得了举世瞩目的成就，创造了经济增长和发展的奇迹。奇迹是怎么产生的？

国内已有许多学者从不同角度对此进行了定性或定量的分析，主要有三个研究思路：一是从制度变迁的角度(王小鲁，2000 ;魏杰，2000 ;金玉国，2001) ,主要侧重于对制度和**行为变迁的分析。二是从经济增长的现有理论角度(高长春等，2001 ;舒元，1992) ,以技术进步和劳动力因素为重点来分析。

三是从其它因素角度(赵志君等，2002) ,强调了外资外贸和货币的作用。而本文试图在现实和理论分析的基础上借鉴扩展的索罗经济增长模型[1 ] 的建模思路，构造一个中国经济增长模型，对中国这一经济增长的奇迹进行深入的数理分析，求出我国经济高速、稳定和持续增长的路径，从而得出有意义的结论，为**政策制定与选择提供理论支持。

二、中国经济增长的动力或源泉的分析。

中国经济的高速增长的原因主要有以下几个方面：

1 重视教育，不断扩大教育规模，加大对人力资本的投入，通过教育提高劳动者的素质，加强劳动者的技术学习和培训，使越来越多的劳动者加入学习和培训的队伍。所以，我国劳动者在积累技能上所花费的时间在不断增大，一方面使得我国劳动者技能水平不断提高，另一方面我国劳动力人均资本和人均收入也得到不断提高，从而促进了经济的快速发展。但就目前的状况来看，中国的教育投资比例还需要扩大，在1998 - 1999 年间，中国对教育的总投入相当于国内生产总值的2.

2 % 而对有形资产的投入大约是它的15 倍，相比之下，土耳其为2. 9 % 印度为3. 2 % 俄罗斯为3.

5 % 菲律宾为4. 2 % 而美国是5 % 我们的教育支出明显低于其他的发展中国家。对此，诺贝尔经济奖得主、芝加哥大学经济学家詹姆斯·赫克曼曾指出，中国对物的投资过大，而对人力资本的投资不够，中国取得的经济成就令人瞩目，但只有把资源从公共工程和摩天大楼向学校转移，这种成功才能持续下去。

2 重视科学技术，鼓励发明创造和技术创新，不断加大全社会科学研究的经费投入，使得越来越多的劳动者从事发明创造和科学研究。我国从事发明创造和科学研究的劳动力数量占劳动力总量的比例虽然很小，但在不断提高，因而，一方面我国劳动者技能水平得到不断提高，另一方面也极大地促进了劳动力人均资本和人均收入的不断提高。中国正是重视科研的投入和人才的培养，激励科研创新，并不断把科研成果转化为现实的生产力，提高经济效率，促进经济增长的发展。

3 由于信息技术的不断取得突破性的进展，使得当前世界技术不仅水平高，而且增长速度快。由于我国信息产业的快速发展，以及**一贯坚持的改革开放和吸引外资，使得世界先进的生产技术和管理技术不断被引进和吸收，由信息化带动现代化，促进了产业结构的不断调整和优化。最终，我国劳动者技能水平的增长率随着世界技术水平增长率的上升而上升，我国劳动力人均资本和人均收入也得到不断提高并快速增长。

这表明，正是技术的不断创新为经济增长注入活力，使中国经济得以保持快速、持续的发展。

4 实物资本的积累和投资。实物资本的投资对经济的增长有很大的推动作用，中国近20 多年来的经济增长有70 %以上是实物资本的贡献。美国和日本早期工业化的经验以及亚洲“四小龙”的经济腾飞的实践都印证了这一结论。

因此，为了保证经济的持续快速增长，就需要在相当长的一段时期内保持较高水平的投资，使全国范围内的基础设施不断完善，形成一定规模的工业体系，带动经济的全面健康发展。

三、中国经济增长模型。

著名的索罗模型描述的是投入要素增长速度、产值增长速度与科技进步速度之间的函数关系。本文根据上述分析对索罗模型进行扩展，考虑中国经济只有居民和企业两部门，构造中国经济增长模型如下：

生产函数： y = f( k, al y)

资本积累方程：

技术积累方程：

其中y 是收入或产出、k 是资本投入量、a 是劳动者的技能水平、为生产过程中劳动力投入量、为从事发明创造和科学研究的劳动力数量、h 为世界技术水平、u 表示劳动者在积累技能而不是在工作上所花费的时间 ;函数f 为已知函数，具有一次齐次性，即。

参数μ、ψ0 ,0 <φ1 ,0 <λd ≤1。

由生产函数可知，当人均资本给定时，随着劳动者的技能水平的不断提高，人均产出也不断增加。资本积累方程表明，资本的增加量等于总投资减资本消耗，为储蓄率或投资率， d 资本折旧率。技术积累方程表明，劳动者技能水平的增加量与劳动者在积累技能所花费的时间、世界技术水平和从事发明创造和科学研究的劳动力数量是正向关系；劳动者技能水平的增加量与已具有的技能水平是正向关系，即已有的技能水平对学习新的技术有较大的帮助作用。

注意到技术积累方程中技术的积累受世界技术水平和从事发明创造和科学研究的劳动力数量的影响，该经济增长模型为技术内生经济增长模型。虽然该模型没有研究国际**对经济增长的影响，但国际**实质上是一个技术引进的过程，所以，技术积累方程可间接地反映了这一过程。

劳动力总量为l = la + l y 。易见，上述模型的内生变量为y、k 和a ,外生变量为l 、la 、l y 和h。假设。

即劳动力总量、生产过程中劳动力投入量、从事发明创造和科学研究的劳动力数量都以同样的增长率n 增长，世界技术水平以增长率增长。技术积累方程也可表示为。

可见，当劳动者技能水平越高，其增长率就越低。

1] 叶阿忠，陈文静，何刚中国经济增长模型 [n] 福州大学学报 2003 - 12 – 11

2]jones c i. 经济增长导论[m] .北京：北京大学出版社，2002.

3]武康平。高级宏观经济学[ z] .清华大学讲义，2001.

4]琼斯。经济增长导论(中译本) [m] .北京：北京大学出版社，2002.

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