题目：线性规划模型问题。
摘要：本次数学建模**，旨于通过本次**活动不断增加大学生数学建模能投资问题数学建模力，提高本班同学的数学建模技巧及其综合数学素养。
关键词：投资。 收益。 线性规划。最大值。
主要内容；1.问题：
某部门现有资金10万元，五年内有以下投资。
项目供选择：
项目a：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；
项目b：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；
项目c：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；
项目d：每年初投资，年末收回本金且获利6%；
问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？
2.建立模型思路：
用表示第i年对第j个项目的投资金额。
要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将所有可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只讨论年初的投资情况：
第一年： 第二年：手上资金（即第一年年末收回资金）为，全部用来对可投资项目投资，则有=
第三年：同理，有=
第四年： =
第五年： =
第五年年末本息和为（即第五年所能收回的所有资金）
3.建立模型：
4.求解模型：
lingo解法：
可编写lingo程序如下：
model:
max=1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;
x11+x14=10;
1.06*x14=x21+x23+x24;
1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;
1.15*x21+1.06*x34=x41+x44;
1.15*x31+1.06*x44=x54;
x23<=3;
x32<=4;
end 运行结果如下：
所得最优值为14.375万元，对应的最优解为：
x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0
即第一年对a项目投资7.169811万元，对d项目投资2.830189万元；
第二年对c项目投资3万元；
第三年对b项目投资4万元，对d项目投资4.245283万元；
第四年对a项目投资4.5万元。
加工奶制品的生产计划。
1.问题品加工厂用牛奶生产，两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲用12小时加工成3公斤，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤。根据市场需求，生产的，全部能售出，且每公斤获利24元，每公斤获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的**，每天正式工人总的劳动时间魏480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下三个附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
3） 由于市场需求变化，每公斤的获利增加到30元，应否改变生产计划？
2.问题分析这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产，用多少桶牛奶生产，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）**、劳动时间、设备甲的工作能力。
按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。
3.基本模型：设每天用桶牛奶生产，用桶牛奶生产。
设每天获利z元。桶牛奶可生产3公斤，获利，桶牛奶可生产4公斤，获利，故z=.
生产，的原料（牛奶）总量不得超过每天的**，即+50桶；
生产，的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12+8480小时；
的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即3100；
均不能为负值，即0， 0。
综上可得 max z1)
4.模型求解。
生产规划问题求解。
某工厂在计划期内安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及a、b两种原材料如下表所示：
假设该工厂每生产一件产品甲可以获利2元，每生产一件产品乙获利3元。
1) 问应如何安排生产计划才能使该工厂获利最多？试建立该问题的数学模型；
2) 用**法求解(1)中的数学模型(提示：梯度方向是函数值增加最快的方向，负梯度方向是函数值减少最快的方向)；
3) 对于线性规划模型，如果有最优解，那么其最优解一定可以在其可行域的某个顶点处达到。试根据该结论为(1)中的数学模型设计一个可行的求解算法（**法除外），并给出详细的算法步骤；
4) 请给出求解该问题的lingo程序。
解：1)设x为甲产品的件数，y为乙产品的件数。
于是有max=2x+3y
又4x<=16;
4y<=12.
x+2y<=8;
x>0y>02)如下图所示：
由约束条件可以画出可行域，在画出的可行域的基础上和目标函数z=2x+3y分析可得（4,2）是目标函数的最值点，故maxz=2x+3y=2*4+3*2=14
3) max=2x+3y
st 4x<=16;
4y<=12.
x+2y<=8;
x>0y>0lingo程序。
model:
max=2*x+3*y;
4*x<=16;
4*y<=12;
x+2y<=8;
x>0;
y>0end程序运行结果可知当生产甲种产品4件，乙种产品2件时，该工厂获利最多，最大获利为14元。
4.模型特点。
1）本次模型主要运用的是线性规划模型，线性规划模型由目标函数，约束条件组成，其中目标函数可以求最大化，也可以求最小化，约束条件由资源约束和自然约束组成，也可以求最小化；约束条件由资源约束和自然约束组成，资源约束条件可以是大于等于，小于等于，或严格等于，自然约束条件常称为非负约束。
2）线性规划模型的优点在于有统一的算法，任何线性问题都能求解，不过它未必是最精确的算法。而且线性规划模型求解模型类型比较少，求解范围比较狭小。
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