七年级数学培优专题1 质数。
阅读与思考。
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被1和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数1既不是质数，也不是合数，叫作单位数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：
关于质数、合数有下列重要性质：
1．质数有无穷多个，最小的质数是2，但不存在最大的质数，最小的合数是4．
2．1既不是质数，也不是合数；2是唯一的偶质数．
3．若质数|，则必有|或|．
4．算术基本定理：任意一个大于1的整数n能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系)：
n=，其中，为质数，为非负数(=1，2，3，…，
正整数n的正约数的个数为(1＋)(1＋)…1＋)，所有正约数的和为(1＋＋…1＋＋…1＋＋…
例题与求解。
例1】已知三个质数，，满足＋＋＋99，那么的值等于。
(江苏省竞赛试题)
解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，，的值．
例2】若为质数，＋5仍为质数，则＋7为( )
a．质数b．可为质数，也可为合数
c．合数d．既不是质数，也不是合数。
(湖北省黄冈市竞赛试题)
解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想．
例3】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．
(上海市竞赛试题)
解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论．
例4】⑴ 将1，2，…，2 004这2 004个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是合数．
⑵ 若是大于2的正整数，求证：－1与＋1中至多有一个质数．
⑶ 求360的所有正约数的倒数和．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：⑴将1到2 004随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非1和本身的约数；⑵只需说明－1与＋1中必有一个是合数，不能同为质数即可；⑶逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解．
例5】设和是正整数，≠，是奇质数，并且，求＋的值．
解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设．由质数的定义得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1为质数即可得出结论．
例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是质数]．求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码1，3，7，9．
青少年国际城市邀请赛试题)
解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被2或5整除．
能力训练。a级。
1．若，，，为整数， =1997，则。
2．在1，2，3，…，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶数，则。
3．设，为自然数，满足1176=，则的最小值为。
(“希望杯”邀请赛试题)
4．已知是质数，并且＋3也是质数，则－48的值为。
北京市竞赛试题)
5．任意调换12345各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 (
a．4b．8c．12d．0
6．在2 005，2 007，2 009这三个数中，质数有。
a．0个b．1个c．2个d．3个。
希望杯”邀请赛试题)
7．一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位中，质数有。
a．1个b．3 个c．5个d．6 个
希望杯”邀请赛试题)
8．设，，都是质数，并且＋=，求．
9．写出十个连续的自然数，使得个个都是合数．
(上海市竞赛试题)
10．在黑板上写出下面的数2，3，4，…，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．
(五城市联赛试题)
11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm规格的地砖，恰用块，若选用边长为cm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知，，都是正整数，且(，)1，试问这块地有多少平方米？
湖北省荆州市竞赛试题)
b级。1．若质数，满足5＋7=129，则＋的值为。
2．已知，均为质数，并且存在两个正整数，，使得=＋，则的值为。
3．自然数，，，都大于1，其乘积=2 000，则其和＋＋＋的最大值为最小值为。
(“五羊杯”竞赛试题)
4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个数是。
北京市“迎春杯”竞赛试题)
5．若，均为质数，且满足＋=2 089，则49
a．0b．2 007c．2 008d．2 010
(“五羊杯”竞赛试题)
6．设为质数，并且7＋8和8＋7也都为质数，记=77＋8， =88＋7，则在以下情形中，必定成立的是。
a．，都是质数b．，都是合数。
c．，一个是质数，一个是合数d．对不同的，以上皆可能出现。
(江西省竞赛试题)
7．设，，，是自然数，并且，求证：＋＋一定是合数．
(北京市竞赛试题)
8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：
6个数中任意两个都互质；
6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．
9．已知正整数，都是质数，并且7＋与＋11也都是质数，试求的值．
(湖北省荆州市竞赛试题)
10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？
(2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．
专题01 质数那些事。
例1 34例2 c
例3 3符合要求提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．
例4 （1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．
（2）因n是大于2的正整数，则－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三个连续的正整数，其中必有一个被3整除，但3不整除，故－1与＋1中至多有一个数是质数．
（3）设正整数a的所有正约数之和为b，，，为a的正约数从小到大的排列，于是=1， =a．由于中各分数分母的最小公倍数=a，故s===而a=360=，故b=（1＋2＋＋）1＋3＋）×1＋5）=1170． =
例5 由=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=为整数．又t与2t－1互质，故2t－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，只能同为xy=必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x==，x＋y=＋=
七年级数学暑期培优专题 4
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七年级数学暑期培优专题 3
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七年级数学暑期培优专题 2
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