专题16 不等式（组）
阅读与思考。
客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：
1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性。
2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分。
通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.
例题与求解。
例1】已知关于的不等式组恰好有5个整数解，则t的取值范围是（ ）
a、 b、 c、 d、
2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）
解题思路：把的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围。
例2】如果关于的不等式那么关于的不等式的解集为。
黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）
解题思路：从已知条件出发，解关于的不等式，求出m，n的值或m，n的关系。
例3】已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值。
（天津市竞赛试题）
解题思路：解关于，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围。
例4】已知三个非负数a，b，c满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大。
值和最小值。
江苏省竞赛试题）
解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值。
例6】设是自然数，，，求的最大值。
希望杯”邀请赛试题）
解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口。
例6】已知实数a，b满足且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值。
解题思路：解法一：已知a－b的范围，需知－b的范围，即可知a－2b的最大值得情形。
解法二：设a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b
能力训练。a级。
1、已知关于x的不等式那么m的值是。
“希望杯”邀请赛试题）
2、不等式组的解集是，那么a＋b的值为。
湖北省武汉市竞赛试题）
3、若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，则的大小关系用不等式表示为。
湖北省武汉市竞赛试题）
4、若方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围是。
河南省中考试题）
5、关于x的不等式的解集为，则a应满足（ ）
a、a＞1b、a＜1 cd、
2024年全国初中数学竞赛预赛试题）
6、适合不等式的x的取值的范围是（ ）
7、已知不等式的解集那么m等于（ ）
a、 b、 c、3d、－3
8、已知，下面给出4个结论：①；其中，一定成立的结论有（ ）
a、1个 b、2个 c、3个d、4个。
江苏省竞赛试题）
9、当k为何整数值时，方程组有正整数解？
天津市竞赛试题）
10、如果是关于x，y的方程的解，求不等式组的解集。
11、已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？
江苏省竞赛试题）
b级。1、如果关于x的不等式的正整数解为1，2，3那么的取值范围是。
北京市”迎春杯“竞赛试题）
2、若不等式组有解， 则的取值范围是。
海南省竞赛试题）
3、已知不等式只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为。
”希望杯“邀请赛试题）
4、已知则的取值范围为。
“新知杯”上海市竞赛试题）
5、若正数a，b，c满足不等式组，则a，b，c的大小关系是（ ）
a、a＜b＜c b、 b＜c＜a c、c＜a＜b d、不确定。
“祖冲之杯”邀请赛试题）
6、一共（ ）个整数x适合不等式。
a、10000 b、20000c、9999d、80000
五羊杯“竞赛试题）
7、已知m，n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是（ ）
a、70b、72c、77d、84
8、不等式的解集为（ ）
abcd、山东省竞赛试题）
9、的最大值和最小值。
北京市”迎春杯”竞赛试题）
10、已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若s＝2x＋y－z，求s的取值范围。
天津市竞赛试题）
11、求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使成立。
12、已知正整数a，b，c满足a＜b＜c，且，试求a，b，c的值。
专题16 不等式（组）
例1c提示：解不等式组得，则5个整数解为x＝19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤.
例2提示：，，
例3或提示：解方程组得，由。
得－1≤m≤0
例4 提示：由已知条件得，解得，m=3c－2.由。
得，解得，故m的最大值为，最小值为。
例5先用x1和x2表示x3,x4，…，x7,得，因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7= 2 010.
于是得。因为x2是自然数，所以是整数，所以x1
是10的奇数倍。又因为x1＜x2，故有三组解：x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.
因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2+x3的最大值为2(x1+x2)=2×118=236.
例6解法一：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4 ②，由②知－4≤－a－b≤－1③，+得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①得－2≤a－2b≤1
要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0. ∴a=1 且b=0，此时8a+2003b=8.
解法二：设a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+ (m－n)b,知，解得。
而， ,a－2b=+
－2≤a－2b≤1
当a—2b最大时，a +b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此时8a+2003b=8.a 级。
2.11. 1提示：原不等式组变形为由解集是0＜x＜2知，解得。
故a+b=2+(－1)=1
4.＜m＜7
提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集为x＜－3知x+3＜0,所以a－1＜0,得a＜1.
或3.10. 提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x＜－3.
11.原不等式组等价于，因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，所以其解不可能是必有，由整数解的情况可知，得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整数对(a,b)共有2×3=6对。
b 级。1.提示：由题意可知：.由正整数解为1,2,3知，解得。
提示：原不等式组变形为由不等式组有解知－a≤1,故a≥－1
3. 9≤a＜12 4.
5. b 提示：原不等式组变形为， ,
6. c示：若x≥2000，则(x－2000)+x≤9999，即2000≤x≤5999,共有4 000个整数；
若0≤x＜2000,则(x－2000)+x≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合。
若x＜0，则2000－x+(－x)≤9999即－3999.5≤x＜0，共有3999个整数适合，故一共有。
4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合。
7. d 提示：由原不等式得x2＞(x+5)2
9.提示：解不等式，得，原式=,从而知最大值为4，最小值为。
10.提示：s=x+2，2≤s≤3
11.提示：由，得，即。
又n与k是都是正整数，显然n＞8，当n取9,10,11,12,13,14时，k都取不到整数。
当n=15时， ,即此时是k=13故满足条件的最小正整数n=15,k=13.
12.由得，故，即，又因为，故a=2，从而有，又，则，即b＜4，又b＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求。
七年级数学不等式与不等式组
分卷i分卷i 注释。如图，a b两点在数轴上表示的数分别为a b，下列式子成立的是 a ab 0 b a b 0 c b 1 a 1 0 d b 1 a 1 0 c解 a b两点在数轴上的位置可知 1 a 0，b 1，ab 0，a b 0，故a b错误 1 a 0，b 1，b 1 0，a 1 0，a...
七年级数学不等式与不等式检测题
第九章不等式与不等式组。b2 卷 能力训练级级高。班级姓名成绩 一 填空题 3 9 27 1 当时，为正数。2 不等式组的整数解是。3 当m 时，的。4 若不等式组无解，则的取值范围是。5 已知不等式的正整数解恰是1，2，3，4，那么的取值范围是。6 关于的方程若其解是非正数，则的取值范围是 7 当...
七年级数学不等式
17 某商店 茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法 1 买一只茶壶送一只茶杯 2 按总价的92 付款。现有一顾客需购买4只茶壶，茶杯若干只 不少于4只 请问 顾客买同样多的茶杯时，用哪一种优惠办法购买省钱？18 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。现有a b两种...