2011高考备考《圆锥曲线》专项训练 （二）
周六晚7：30---9：30 周日下午3：30---5：30
13．求动点轨迹方程的常用方法：（接上周圆锥曲线常用方法：定义法，韦达定理法，设而不求（点差法及点和法）相关点法，待定系数法，参数法）
直接法：直接利用条件建立之间的关系；
如已知动点p到定点f(1,0)和直线的距离之和等于4，求p的轨迹方程．或）；
待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
如线段ab过x轴正半轴上一点m（m，0），端点a、b到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过a、o、b三点作抛物线，则此抛物线方程为。
定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
如(1)由动点p向圆作两条切线pa、pb，切点分别为a、b，∠apb=600，则动点p的轨迹方程为。
2）点m与点f(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点m的轨迹方程是。
3) 一动圆与两圆⊙m：和⊙n：都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；
代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
如动点p是抛物线上任一点，定点为，点m分所成的比为2，则m的轨迹方程为。
参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
如（1）ab是圆o的直径，且|ab|=2a，m为圆上一动点，作mn⊥ab，垂足为n，在om上取点，使，求点的轨迹。（答：）；
2）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是___答：）；
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
如1如果椭圆弦被点a（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；
2已知直线y=－x+1与椭圆相交于a、b两点，且线段ab的中点在直线l：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为___答：）；
3设抛物线过定点，且以直线为准线．
1）求抛物线顶点的轨迹的方程；
2）若直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦的垂直平分线的方程为，试求的取值范围．
分析：（1）设出顶点坐标，由准线可求焦点坐标，再根据抛物线定义可求抛物线的方程；
2）是弦的垂直平分线与轴交点的纵截距，由所唯一确定；求的取值范围，应从直线与轨迹相交入手。求解过程中有两个关键点：①.
引入另一参数，构造不等式，求出该参数范围；②.寻求与改参数之间的关系，再转化为求的取值范围。
解析：（1）设抛物线顶点ｐ坐标为，则其焦点为．
由抛物线的定义可知：点到直线的距离等于点ａ与焦点ｆ的距离。
∴抛物线顶点p的轨迹方程为：
2）求解本题有利用韦达定理和点差法两种方法：
解法一：利用韦达定理求解。
直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分。
直线与坐标轴不可能平行，设直线的方程为：
代入椭圆方程并整理得
直线与轨迹交于不同的两点。
即1）又∵线段恰被直线平分，即2）
代（2）式入（1）式可解得3）
设线段的中点，则。
在：上 ∴由（2）式得 ∴
将点代入直线有。
代入（3）式有的取值范围为：.
解法二：利用点差法求解。
设弦的中点为，点的坐标分别为，，则。
点为椭圆上的点 ∴
上两式相减得。
又∵弦的中点为，
代入﹡式得：
点在弦的垂直平分线上 ∴即。
又∵点在椭圆内 ∴．
故的取值范围为：.
跟踪训练（3）过抛物线的焦点f作直线交抛物线于a、b两点，则弦ab的中点m的轨迹方程是___答：）；
3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）；
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①p点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③p在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④p为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
如（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有___答：2）； 2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为___答：）；
3）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于a、b两点，若4，则满足条件的直线有___条（答：3）；
4）对于抛物线c：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线c的位置关系是___答：相离）；
5）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于p、q两点，若线段pf与fq的长分别是、，则___答：1）；
7）求椭圆上的点到直线的最短距离（答：）；
8）直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以ab为直径的圆过坐标原点？（答：①；
3）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是___答：）；
1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是___答：(-1)）；
2）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是___答：[1，5）∪（5，+∞
3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于a、b两点，若│ab︱＝4，则这样的直线有___条（答：3）；
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