一、圆的有关计算。
1．（重庆市）如图，⊙o为△abc的内切圆，∠c＝，ao的延长线交bc于点d，ac＝4，dc＝1，，则⊙o的半径等于（）
a） （b） （c） （d）
2．（甘肃省）如图，在△abc中，∠bac＝，ab＝ac＝2，以ab为直径的圆交bc于d，则图中阴影部分的面积为（）
a）1 （b）2（c）1+ （d）2－
3．（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为（）
a）18π （b）9π（c）6π（d）3π
4．（山东省）如图，点p是半径为5的⊙o内一点，且op＝3，在过点p的所有弦中，长度为整数的弦一共有（）
a）2条 （b）3条（c）4条（d）5条。
5．（南京市）如图，正六边形abcdef的边长的上a，分别以c、f为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积是（）
a）（b）（c）（d）
6．（杭州市）过⊙o内一点m的最长的弦长为6厘米，最短的弦长为4厘米，则om的长为（）
a）厘米（b）厘米（c）2厘米（d）5厘米。
7．（贵阳市）一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是（）
a）66π平方厘米（b）30π平方厘米（c）28π平方厘米（d）15π平方厘米。
8．（常州市）已知扇形的圆心角为150，它所对的弧长为20π厘米，则扇形的半径是___厘米，扇形的面积是平方厘米．
9．如图，半圆的直径，为上一点，点为半圆的。
三等分点，则阴影部分的面积是。
10．（2013遂宁）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥。
的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
二、综合拓展。
11．如图，射线oa⊥射线ob，半径r=2cm的动圆m与ob相切于点q（圆m与oa没有公共点），p是oa上的动点，且pm=3cm，设op=xcm，oq=ycm．
（1）求x、y所满足的关系式，并写出x的取值范围．
（2）当△mop为等腰三角形时，求相应的x的值．
（3）是否存在大于2的实数x，使△mqo∽△omp？若存在，求相应x的值，若不存在，请说明理由．
12．(2023年江西)已知，纸片⊙o的半径为2，如图1，沿弦ab折叠操作．
1)如图2，当折叠后的经过圆心o时，求的长；
2)如图3，当弦ab＝2时，求折叠后所在圆的圆心o′到弦ab的距离；
3)在图1中，再将纸片⊙o沿弦cd折叠操作．
如图4，当ab∥cd，折叠后的与所在圆外切于点p时，设点o到弦ab，cd的距离之和为d，求d的值；
如图5，当ab与cd不平行，折叠后的与所在圆外切于点p时，设点m为ab的中点，点n为cd的中点．试**四边形ompn的形状，并证明你的结论．
13．已知：在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点a，抛物线经过o、a两点。
⑴试用含a的代数式表示b；
设抛物线的顶点为d，以d为圆心，da为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙d内，它所在的圆恰与od相切，求⊙d半径的长及抛物线的解析式；
设点b是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点p，使得？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。
14．如图，已知抛物线的顶点坐标为m(1,4)，且经过点n(2,3)，与x轴交于a、b两点(点a在点b左侧)，与y轴交于点c。 ⑴求抛物线的解析式及点a、b、c的坐标； ⑵若直线y=kx+t经过c、m两点，且与x轴交于点d，试证明四边形cdan是平行四边形； ⑶点p在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的p点，使以p为圆心的圆经过a、b两点，并且与直线cd相切，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。
当堂测评】15、计算： +
16、先化简再求值：，其中a是方程x2－x=6的根．
18．先化简再求值：
解：（1）过点m作md⊥oa，垂足为d，显然odmq为矩形，od=mq=2，md=oq=y，∴pd=x-2．
在rt△mdp中，y2+（x-2）2=32，∴x2-4x+y2=5．∴x取值范围为2（2）若△mop为等腰三角形，①若om=mp，此时x=4；
若mp=op时，x=3；③若om=op时，om=4+y2，∴4+y2=x2，于是解得x=
（3）分三种情况依次讨论：
假设两三角形相似，若∠opm=90°，则mp=y，op=2=x，得x=2，不是大于2的实数，故∠opm不可能是90°；
②若∠mop=90°，由于圆m在第一象限，所以这不可能．
假设△qmo∽△mop，此时∠omp=90°，则。
得4+y2=2x，于是得x=1+<2．
∴存在这样的实数x，并且x=1+．
1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点a ∴点a的坐标为（4，0）∵抛物线经过o、a两点
解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点a ∴点a的坐标为（4，0）∵抛物线经过o、a两点 ∴抛物线的对称轴为直线
2）解：由抛物线的对称性可知，do＝da∴点o在⊙d上，且∠doa＝∠dao 又由（1）知抛物线的解析式为∴点d的坐标为（） 当时， 如图1，设⊙d被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙d关于x轴对称，设它的圆心为d' ∴点d'与点d也关于x轴对称。
点o在⊙d'上，且od与⊙d'相切 ∴点o为切点∴d'o⊥od ∴∠doa＝∠d'oa＝45°∴△ado为等腰直角三角形。
点d的纵坐标为
∴抛物线的解析式为
②当时， 同理可得： 抛物线的解析式为综上，⊙d半径的长为，抛物线的解析式为或
3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点p，使得设点p的坐标为（x，y），且y＞0 ①当点p在抛物线上时（如图2）
∵点b是⊙d的优弧上的一点。
过点p作pe⊥x轴于点e
由解得：（舍去） ∴点p的坐标为
②当点p在抛物线上时（如图3）
同理可得， 由解得：（舍去）
∴点p的坐标为
综上，存在满足条件的点p，点p的坐标为或。
解：（1）由抛物线的顶点是m（1，4），设解析式为
又抛物线经过点n（2，3），所以解得a＝－1
所以所求抛物线的解析式为y＝
令y＝0，得解得：
得a（－1，0） b（3，0） ；令x＝0，得y＝3，所以 c（0，3）.
2）直线y=kx+t经过c、m两点，所以即k＝1，t＝3
直线解析式为y＝x＋3. 令y＝0，得x＝－3，故d（－3，0） cd＝
连接an，过n做x轴的垂线，垂足为f.
设过a、n两点的直线的解析式为y＝mx＋n， 则解得m＝1，n＝1 所以过a、n两点的直线的解析式为y＝x＋1 所以dc∥an. 在rt△anf中，an＝3，nf＝3，所以an＝ 所以dc＝an。 因此四边形cdan是平行四边形。
3）假设在x轴上方存在这样的p点，使以p为圆心的圆经过a、b两点，并且与直线cd相切，设p（1，u） 其中u＞0，则pa是圆的半径且过p做直线cd的垂线，垂足为q，则pq＝pa时以p为圆心的圆与直线cd相切。
由第（2）小题易得：△mde为等腰直角三角形，故△pqm也是等腰直角三角形，
由p（1，u）得pe＝u， pm＝|4-u|， pq＝
由得方程：，解得，舍去负值u＝，符合题意的u＝，所以，满足题意的点p存在，其坐标为（1，）.
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