第7节立体几何中的向量方法。
选题明细表】
基础巩固(时间：30分钟)
1.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则( a )
a)l∥α或lα (b)l⊥α
c)ld)l与α斜交。
解析：由条件知a·u=2×1+5×1+7×(-1)=0,所以a⊥u,故l∥α或lα.故选a.
2.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则( c )
ab)α⊥c)α,相交但不垂直 (d)以上均不正确。
解析：因为n1·n2=2×(-3)+(3)×1+5×(-4)≠0,所以n1与n2不垂直，又因为n1,n2不平行，所以α与β相交但不垂直。
3.已知平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β则k等于( c )
a)2 (b)-4 (c)4 (d)-2
解析：因为α∥β所以==,所以k=4.
4.在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1的中点，则直线no,am的位置关系是( c )
a)平行 (b)相交。
c)异面垂直 (d)异面不垂直。
解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2,则a(2,0,0),m(0,0,1),o(1,1,0),n(2,1,2),=1,0,-2),=2,0,1),·0,则直线no,am的位置关系是异面垂直。
5.已知=(1,5,-2),=3,1,z),若⊥,=x-1,y,-3),且bp⊥平面abc,则实数x,y,z分别为( b )
a),-4 (b),-4
c),-2,4 (d)4,,-15
解析：因为⊥,所以·=0,即3+5-2z=0,得z=4.
又因为bp⊥平面abc,所以bp⊥ab,bp⊥bc,又=(3,1,4),则解得。
6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β则x= .
解析：由α⊥β知a·b=0,即x+1×(-2)+2×3=0,解得x=-4.
答案：-47.在空间直角坐标系中，点p(1,,)过点p作平面yoz的垂线pq,则垂足q的坐标为 .
解析：由题意知，点q即为点p在平面yoz内的射影，所以垂足q的坐标为(0,,)
答案：(0,,)
8.已知点p是平行四边形abcd所在平面外一点，如果=(2,-1,-4),(4,2,0),=1,2,-1).对于结论：
①ap⊥ab;②ap⊥ad;③是平面abcd的法向量；④∥其中正确的是 .
解析：由于·=-1×2+(-1)×2+(-4)×(1)
0,所以①②③正确。④不正确。
答案：①②能力提升(时间：15分钟)
9.[,在长方体abcda1b1c1d1中，ab=2,aa1=,ad=2,p为c1d1的中点，m为bc的中点。则am与pm的位置关系为( c )
a)平行 (b)异面。
c)垂直 (d)以上都不对。
解析：以d点为原点，分别以da,dc,dd1所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz,依题意，可得，d(0,0,0),p(0,1,),c(0,2,0),a(2,0,0),m(,2,0).
所以=(,2,0)-(0,1,)=1,-)2,0)-(2,0,0)
(-,2,0),所以·=(1,-)2,0)=0,即⊥,所以am⊥pm.
10.如图，正方形abcd与矩形acef所在平面互相垂直，ab=,af=1,m在ef上且am∥平面bde,则m点的坐标为( c )
a)(1,1,1)
b)(,1)
c)(,1)
d)(,1)
解析：由选项特点，设m(λ,1),又a(,,0),d(,0,0), b(0,,0),e(0,0,1),则=(-0,1),=0,-,11).
设平面bde的法向量n=(x,y,z),则。
即。不妨取z=,则n=(1,1,),由于am∥平面bde,所以⊥n,即·n=0,所以λ-+0,解得λ=,即m点坐标为(,,1).故选c.
11.如图，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为a,m,n分别为a1b和ac上的点，a1m=an=,则mn与平面bb1c1c的位置关系是 .
解析：因为正方体棱长为a,a1m=an=,所以=,=所以=++
又因为是平面b1bcc1的法向量，所以·=(0,所以⊥.又因为mn平面b1bcc1,所以mn∥平面b1bcc1.
答案：平行。
12.[,如图，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e,f,g分别为a1b1,b1c1,c1d1的中点。
1)求证：ag∥平面bef;
2)试在棱bb1上找一点m,使dm⊥平面bef,并证明你的结论。
1)证明：以d为坐标原点，da,dc,dd1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则a(1,0,0),b(1,1,0),e(1,,1),f(,1,1),g(0,,1),(0),=0,1),而=(-1,,1),所以=+,故与平面bef共面，又因为ag不在平面bef内，所以ag∥平面bef.
2)解：设m(1,1,m),则=(1,1,m),由·=0,·=0,所以-+m=0m=,所以m为棱bb1的中点时，dm⊥平面bef.
13.已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为3,点e在aa1上，点f在cc1上，且ae=fc1=1.
1)求证：e,b,f,d1四点共面；
2)若点g在bc上，bg=,点m在bb1上，gm⊥bf,垂足为h,求证：em⊥平面bcc1b1.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则d(0,0,0),e(0,3,1),f(3,0,2),d1(0,0,3),b(3,3,0),则=(-3,0,1),=3,0,1),所以∥,所以e,b,f,d1四点共面。
2)设m(3,3,z0),g(3,,0),则=(0,,z0),而=(0,-3,2),由题设得·=×3)+z0·2=0,得z0=1.故m(3,3,1),有=(-3,0,0).
又=(0,0,3),=0,-3,0),所以·=0,·=0,从而me⊥bb1,me⊥bc.又bb1∩bc=b,所以em⊥面bcc1b1.
14.[,在四棱锥pabcd中，pd⊥底面abcd,底面abcd为正方形，pd=dc,e,f分别是ab,pb的中点。
1)求证：ef⊥cd;
2)在平面pad内是否存在一点g,使gf⊥平面pcb?若存在，求出点g的坐标；若不存在，请说明理由。
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