自学导引】1．双曲线＝1(a＞0，b＞0)在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内．
2．双曲线＝1(a＞0，b＞0)关于两个坐标轴和原点对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
3．在双曲线的标准方程＝1(a＞0，b＞0)中，点a1(－a，0)，a2(a，0)叫做双曲线的顶点．线段a1a2叫做双曲线的实轴，线段b1b2(b1(0，－b)，b2(0，b))叫做双曲线的虚轴．直线叫做双曲线的渐近线．
4．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
5．双曲线的，叫做双曲线的离心率．
思考导学】1．对于双曲线＝1(a>0，b>0)，a、b、c间的关系为c2＝a2＋b2，实轴长为2a，实半轴长为a，虚轴长为2b，虚半轴长为b，焦距为2c，半焦距为c．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的几何性质：
1)范围：在不等式y≥a与y≤－a所表示的区域内．
2)对称性：关于两个坐标轴和原点对称．
3)顶点：a1(0，－a)，a2(0，a)实轴为线段a1a2，虚轴为b1b2(b1(－b，0)、b2(b，0))．
4)渐近线为直线y＝±x．
5)离心率为焦距与实轴的比e＝．
3．双曲线的渐近线为由过实轴两端点和过虚轴两端点且平行于坐标轴的直线围成的矩形的对角线所在的直线．
4．由于c>a，所以双曲线的离心率e>1．
典例剖析】例1］已知双曲线的方程b2y2－a2x2＝a2b2(a＞0，b＞0)，求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程．
解：把方程化为标准方程＝1，由此可知，实半轴长为a，虚半轴长为b，c＝．
焦点坐标是(0，－)0， )
渐近线方程为x＝±y，即y＝±x．
点评：双曲线＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为y＝±x，双曲线＝1的渐近线为x＝±y，即y＝±x，应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点．
例2］求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4，0)的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率．
解：双曲线的渐近线方程可写成＝0，因此双曲线的方程可写成＝λ(0)
焦点在x轴上，∴λ0
把双曲线的方程写成＝1
c＝４∴16λ＋9λ＝16，∴λ
故所求双曲线的标准方程为＝1
a2＝，即a＝，双曲线的离心率e＝．
点评：渐近线为＝0的双曲线方程总是＝λ(0)，可利用矩形对角线证明．
例3］等轴双曲线的两个顶点分别为a1、a2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于m、n两点．求证：
1)∠ma1n＋∠ma2n＝180°；
2)ma1⊥a2n，ma2⊥a1n．
证明：(1)不妨设等轴双曲线的方程为＝1
设直线mn的方程为x＝b(b>a)
如图8—7易求得。
n(b，)tanna1x＝＝
tanna2x＝＝
tanna1x＝＝cotna2x
tan(－∠na2x)
又∠na1x，∠na2x均为锐角。
∠na1x＝90°－∠na2x，即∠na1x＋∠na2x＝90°
根据对称性，∴∠na1m＋∠na2m＝180°
2)仿(1)可求得m(b，－)
ma1⊥a2n ，同理可证ma2⊥a1n．
点评：利用对称性把要证等式转化为证明∠na2x＋∠na1x＝90°为本题证明的突破口，体现转化意识．，随堂训练】
1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )
a．＝1b．＝1
c．＝1d．＝1
解析：由方程组。
得a＝2，b＝2．
双曲线的焦点在y轴上，双曲线的标准方程为＝1．
答案：b2．双曲线与椭圆＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝－x，则双曲线方程为( )
a．x2－y2＝96
b．y2－x2＝160
c．x2－y2＝80
d．y2－x2＝24
解析：由椭圆＝1得其焦点坐标为(0，－4)、(0，4)．
双曲线的焦点在y轴上，双曲线的一条渐近线为y＝－x，a＝b，而c＝4，a2＋b2＝(4)2，2a2＝48，a2＝24，b2＝24，双曲线的方程为y2－x2＝24．
答案：d3．实轴长为4且过点a(2，－5)的双曲线的标准方程是( )
a．＝1b．＝1
c．＝1d．＝1
解析：∵2a＝4，∴a＝2，双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线上的点的横坐标x应满足｜x｜≥2．
而a点的横坐标为2，不满足｜x｜≥2．
双曲线的焦点应在y轴上．
设双曲线的方程为＝1．
点a(2，－5)在双曲线上，＝1，∴b2＝16，双曲线的方程为＝1．
答案：b4．双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是( )
a．45°b．30°
c．60°d．90°
解析：由特征三角形oa1b1知，cosoa1b1＝＝，oa1b1＝45°，两渐近线的夹角为90°．
答案：d5．双曲线＝1的实轴长为___虚轴长为___渐近线方程为___离心率为___
解析：∵a2＝5，b2＝4，∴2a＝2，2b＝4，c＝＝3．
e＝＝又双曲线的焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程为y＝±x．
答案：2 4 y＝±x
6．双曲线x2－y2＝－3的顶点坐标是___虚轴端点坐标是___
解析：把双曲线方程x2－y2＝－3写成标准方程＝1．
双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标是(0，±)虚轴端点坐标是(±，0)．
答案：(0，±)0)
强化训练】1．中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )
a．y＝±x
b．y＝±x
c．y＝±x
d．y＝±x
解析：∵＝双曲线的焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为y＝±x．
所求双曲线的渐近线方程为y＝±x．
答案：d2．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为( )a．b．
c．或。d．或。
解析：∵双曲线的渐近线方程是y＝±x．
＝或＝，当＝时，e＝
当＝时，．e＝．
答案：d3．焦点为(0，6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的方程是( )a．b．
c．d．
解析：设所求双曲线的方程为＝1．（λ0）
双曲线的一个焦点为(0，6)在y轴上，λ＜0，∴－2λ＝36，λ＝12．
所求双曲线方程是．
答案：b4．若0＜k＜a，双曲线＝1与双曲线＝1有( )
a．相同的虚轴。
b．相同的实轴。
c．相同的渐近线。
d．相同的焦点。
解析：∵(a2－k)＋(b2＋k)＝a2＋b2，且焦点都在x轴上，两双曲线有相同的焦点．
答案：d5．椭圆＝1与双曲线－y2＝1焦点相同，则a＝__
解析：依题意知。
a2＝，即a＝±．
答案：±6．双曲线一条渐近线方程为y＝x，且过点p(3，－)则它的标准方程为___
解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x
双曲线的另一条渐近线方程为y＝－x
双曲线的方程可设为＝1(a>0，b>0)
故：，即a＝2b ①
又∵＝1 ②
把①代入②得a2＝8，b2＝2
双曲线的标准方程为：＝1．
答案：＝17．求与双曲线＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程．
解：∵所求双曲线与双曲线＝1有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程为＝λ(0)．
点(－3，2)在双曲线上，λ＝
所求双曲线的方程为＝1．
8．双曲线＝1与直线y＝kx－1只有一个公共点，求k的值．
解：直线y＝kx－1过(0，－1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切．
当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y＝±x．
k＝±．当直线与双曲线相切时，(4－9k2)x2＋18kx－45＝0
δ＝0即(18k)2＋4·(4－9k2)·45＝0
解之：k＝±
综上可知：k＝±或k＝±．
9．过双曲线＝1的右焦点作一条渐近线的平行线，它与此双曲线交于一点p，求p与双曲线的两个顶点a、a′所构成的三角形的面积．
解：双曲线的右焦点为(5，0)，渐近线方程为＝0．
由得y＝－．
学后反思】1．双曲线＝1(a＞0，b＞0)在不等式组所表示的区域内，它有两条对称轴，一个对称中心，与它有相同渐近线的双曲线方程都可以写成＝λ(0)．
2．rt△oa1b1是双曲线的特征三角形．
3．一条直线与双曲线的渐近线平行时，它与双曲线只有一个公共点．
双曲线的简单几何性质 第一课时
2.3.2 双曲线的简单几何性质 一 编写 夏亚勤。学习目标 1.能类比椭圆的几何性质的研究方法，并掌握双曲线的简单几何性质 2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点 实虚轴 焦点 离心率 渐近线。知识线索 1.双曲线的简单几何性质。2.双曲线方程的设法。1 实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线。其方程...
椭圆的简单几何性质 第一课时
自学导引 1 椭圆 1 a b 0 上的点中，横坐标x的取值范围是 a x a，纵坐标y的取值范围是 b y b 2 椭圆关于x轴 y轴和原点都是对称的，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3 椭圆 1的四个顶点坐标是 a，0 0，b 4 在椭圆 1 a b 0 中，a1 a，0 a2 a，0 b1 0，...
椭圆的简单几何性质第一课时
一 教学目标。掌握椭圆的范围 对称性 顶点 离心率这四个几何性质，掌握标准方程中 以及 的几何意义，之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质 二 教学过程。复习引入 由学生口述，教师板书 问题1 椭圆的标准方程是怎样的？问题2 在直角坐标系内，关于轴 轴 原点对称的点的坐标之间有什么关...