自学导引】1．椭圆＝1(a＞b＞0)上的点中，横坐标x的取值范围是－a≤x≤a，纵坐标y的取值范围是－b≤y≤b．
2．椭圆关于x轴、y轴和原点都是对称的，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
3．椭圆＝1的四个顶点坐标是(±a，0)，(0，±b)．
4．在椭圆＝1(a＞b＞0)中，a1(－a，0)、a2(a，0)、b1(0，－b)、b2(0，b)，线段a1a2、b1b2分别叫做椭圆的长轴、短轴，在rt△ob2f2中，｜of2｜2＝｜b2f2｜2－｜ob2｜2，这就是c2＝a2－b2的几何意义．△ob2f2叫做椭圆的特征三角形，并且cosof2b2是椭圆的离心率．
思考导学】1．确定椭圆大小形状的四个关键点是___
答案：椭圆的四个顶点。
2．椭圆＝1(a>b>0)的扁平程度可以用___来表示．
答案：或。3．已知点p(x，y)在椭圆＝1上，则2x＋1的范围是___
答案：－9≤2x＋1≤11
典例剖析】例1］求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标．
解：把已知方程化成标准方程：＋x2＝1，这里a＝5，b＝1，所以c＝＝2．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝2，两个焦点分别是f1(0，－2)、f2(0，2)，椭圆的四个顶点是a1(0，－5)、a2(0，5)、b1(－1，0)和b2(1，0)．
点评：求椭圆的长轴、短轴长需要求a、b，求a、b一般是把椭圆方程化成标准形式．在求顶点坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴．
例2］已知椭圆的对称轴是坐标轴，o为坐标原点，f是一个焦点，a是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cosofa＝，求椭圆的方程．
解：∵椭圆的长轴长是6，cosofa＝，∴点a不是长轴的端点(是短轴的端点)
｜of｜＝c，｜af｜＝a＝3，＝，c＝2，b2＝32－22＝5
椭圆的方程是＝1或＝1．
点评：△ofa是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c，斜边的长为a，∠ofa的余弦值是椭圆的离心率．
例3］已知点p(3，6)在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据p点的坐标最多写出椭圆上几个点的坐标(p点除外)？这几个点的坐标是什么？
解：根据椭圆关于两坐标轴对称及p点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐标分别是(3，－6)、(3，－6)、(3，6)．
点评：如果知道椭圆的两条对称轴，那么可以根据椭圆上一点的坐标，写出椭圆上另外三点的坐标．
随堂训练】1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是( )
a．(－1，0)、(1，0)
b．(－6，0)、(6，0)
c．(－0)、(0)
d．(0，－)0，)
答案：d2．椭圆x2＋8y2＝1的短轴的端点坐标是( )
a．(0，－)0，)
b．(－1，0)、(1，0)
c．(2，0)、(2，0)
d．(0，2)、(0，－2)
答案：a3．椭圆3x2＋2y2＝1的焦点坐标是( )
a．(0，－)0，)
b．(0，－1)、(0，1)
c．(－1，0)、(1，0)
d．(－0)、(0)
解析：把已知方程化成标准方程＝1，这里a2＝，b2＝，c＝＝，而椭圆的焦点在y轴上，因此，焦点坐标为(0，－)0，)．
答案：a4．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标是( )
a．(±13，0)
b．(0，±10)
c．(0，±13)
d．(0，±)
解析：a＝13，b＝10，c＝＝，椭圆的方程是＝1，焦点在y轴上，所以焦点坐标是(0，－)和(0，)．
答案：d5．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
a．a2＝25，b2＝16
b．a2＝9，b2＝25
c．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
d．a2＝25，b2＝9
解析：∵椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，∴a2＝25，b2＝9．
答案：d6．已知椭圆c：＋＝1与椭圆＋＝1有相同离心率，则椭圆c的方程可能是( )
a．＋＝m2(m≠0)
b．＋＝1c．＋＝1
d．以上都不可能。
解析：把方程＋＝m2写成＋＝1，则a2＝8m2，b2＝4m2，c2＝4m2，∴＝e＝＝，而椭圆＋＝1的离心率为．
答案：a强化训练】
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0＜k＜９)的关系为( )
a．有相等的长、短轴。
．有相等的焦距。
．有相同的焦点。
．有相同的准线。
解析：∵25－k－(９k)＝16，∴焦距相等．
答案：ｂ2．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是( )
a．＋＝1或＋＝1
b．＋＝1或＋＝1
c．＋＝1或＋＝1
d．椭圆的方程无法确定。
解析：由题意，a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
答案：c3．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
a．＋＝1b．＋＝1
c．＋＝1d．＋＝1
解析：∵2a＝18，2c＝×2a＝6，∴a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72．
答案：a4．已知点(3，2)在椭圆＋＝1上，则( )
a．点(－3，－2)不在椭圆上。
b．点(3，－2)不在椭圆上。
c．点(－3，2)在椭圆上。
d．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(3，2)是否在椭圆上。
解析：∵点(3，2)在椭圆＋＝1上，＋＝1，∴＝1．
即点(±3，±2)在椭圆＋＝1上．
答案：c5．椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有( )
a．相同的短轴。
b．相同的长轴。
c．相同的离心率。
d．以上都不对。
解析：取a2＝8知a、b、c都不对．
答案：d6．焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
a．＋＝1b．＋＝1
c．＋＝1d．＋＝1
解析：由a＋b＝10，2c＝4，(2)2＝a2－b2得，a2＝36，b2＝16，又焦点在x轴上，椭圆的方程为＋＝1．
答案：a7．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
a．m＞1b．m≥1或0＜m＜1
c．0＜m＜5且m≠1
d．m≥1且m≠5
解析：∵方程＋＝1表示椭圆，∴m＞0且m≠5，直线y＝kx＋1恒过(0，1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点应有≥1，m≥1．
答案：d8．求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率．
解：把已知方程化成标准方程：＋x2＝1，这里a＝5，b＝1，所以c＝＝2．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝2，两个焦点分别是f1(0，－2)、f2(0，2)，椭圆的四个顶点是a1(0，－5)、a2(0，5)、b1(－1，0)和b2(1，0)．椭圆的离心率是。
9．椭圆过(3，0)点，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解：当椭圆的焦点在x轴上时，a＝3，＝，c＝．从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，椭圆的方程为＝1．
当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，＝，a2＝27．
椭圆的方程为＝1．
所求椭圆的方程为＝1或＝1．
10．aa′是椭圆＝1(a＞b＞0)的长轴，cd是垂直于长轴的弦，求直线a′c和ad的交点p的轨迹方程．
解：设p(x，y)，c(x0，y0)，d(x0，－y0)
由a′、c、p共线得：＝
由d、a、p共线得：＝
由①②联立求出代入＝1中得＋＝1，整理得＝1．
学后反思】研究曲线的范围就是研究曲线上点的横坐标及纵坐标的范围．对称性研究借助点的坐标关系，点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，点(x，－y)与点(x，y)关于x轴对称；曲线的对称性中关于x轴对称，关于y轴对称，关于原点对称，只要有两条成立，第三条就成立．椭圆的顶点是它与对称轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上．由于椭圆、矩形都是轴对称图形，因此椭圆内接矩形的中心必是椭圆的中心．a、b、c在椭圆内可构成直角三角形ofb，rt△ofb叫做椭圆的特征三角形，这是a、b、c的一个几何意义．
椭圆的简单几何性质第一课时
一 教学目标。掌握椭圆的范围 对称性 顶点 离心率这四个几何性质，掌握标准方程中 以及 的几何意义，之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质 二 教学过程。复习引入 由学生口述，教师板书 问题1 椭圆的标准方程是怎样的？问题2 在直角坐标系内，关于轴 轴 原点对称的点的坐标之间有什么关...
椭圆的简单几何性质 第一课时 教案
椭圆的简单几何性质 第一课时 教案。科目 数学时间 2011年12月6日第二节地点 昌宁二中高98班教室 授课教师 李光俊。授课班级 昌宁二中高二年级98班。教学目标 1 知识目标 掌握椭圆的简单几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 能根据椭圆的几何性质解决一些简单问题。2 能力目标 培养学生的解析...
2 1椭圆的简单几何性质 第一课时
1.椭圆的简单几何性质。教学目标 1 理解椭圆的几何性质，掌握a b c e的几何意义及相互关系 2 掌握由曲线方程研究曲线性质的一般方法 3 培养学生 问题的能力。教学重点 椭圆的几何性质。教学过程 一 引入。1.椭圆的定义。2.椭圆的标准方程。二 椭圆的几何性质。1 范围 提示 通过两种方法研究...