§4.2.1 圆的对称性
设计理念。数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程。
重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、**”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人。
教学内容。义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时。
教材分析。圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性。同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义。
“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据。所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习。
教学目标。1.知识与技能。
理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明．
2.过程与方法
经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力．
3.情感、态度与价值观。
通过“找圆心”等问题情境激发学生**的兴趣和热情，在**垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系。
教学重点。垂径定理及其推论的探索．
教学难点。垂径定理及其推论的证明．
教学方法。自主**和合作**相结合．
教学过程。一、创设情境，感知数学。
问题1】 通过上节课《圆》的学习，进一步认识了圆的意义。这是一张圆形纸片，你有什么办法找出它的圆心呢？
学情预设］学生凭借经验易想到用折叠的方法，如图，交点o就是圆心。
问题2】 你怎么验证点o就是圆心呢？
学情预设］学生根据圆的概念能想到在圆上找一些点，测量它们与点o的距离。但需要找几个点，一个、两个、三个？还是更多？会有不同的见解。
问题3】 在折叠的过程中，你从中知道圆具有什么性质？
问题4】 圆的对称轴有几条？与学过的轴对称图形有什么不同？
学情预设］学生可能只会找到1条、2条、3条……让学生自己得出结论：无数条，对称轴是任意一条过圆心的直线。师出示课题。
问题5】 这是一个硬币，你又有办法找出这个圆形硬币的圆心吗？
学情预设］有的学生会想到利用刚才的方法；有的学生会纳闷：不能折叠怎么办？为了有更多的方法确定圆心，我们来深入**圆的有关概念与性质。
知识链接］圆上有两点到点o的距离相等，只能说明点o在该线段的垂直平分线上，不足以说明圆心。三个点还是更多，则是后面“确定圆的条件”**问题。应用圆的不同性质来确定圆心的方法有许多。
设计意图］问题是数学的心脏，兴趣是最好的老师。设计一连串的问题情境引发学生学习和**的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又体验了圆的对称性及应用。
二、师生互动，体验**。
1.自主**：学生阅读课本，学习圆的相关概念：弦、弧。
1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？
2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？
3）什么是半圆？它与弧如何区别？
4）请你写出图中的优弧和劣弧，并思考如何才能不重复不遗漏？
学情预设］学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧，如同大于零的数是正数，小于零的数是负数，但零既不是正数，也不是负数一样。问题4，学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律。
设计意图］让学生带着问题读书，有效地提高他们自主**的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统。
一、分类讨论地解决问题。
2.合作**：弦与弧之间的联系---学习垂径定理及推论。
活动一：**垂径定理。
①刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？（相交）
垂直是相交的特殊情况，从垂直的图中能得出哪些等量关系？
ab=cd、oa=ob=oc=od、==
若把ab向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？
思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明am=bm，还有什么方法？
把上述发现归纳成文字语言和几何语言。
垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
如图，在⊙o中，即①②→
cd是直径am=bm，
ad=， cd⊥ab于m
学情预设］问题2，多数学生会用画图、折叠、测量的方法猜想出结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明。
设计意图］用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在平移中体会知识的发生与发展过程，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的概括、总结的语言表达能力。
活动二：**垂径定理的推论。
议一议：问题1】把垂径定理中条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例。
问题2】你还能找出其它类似的结论吗？并判断是真命题还是假命题？
引例】已知：如图⊙o中，直径cd⊥弦ab，垂足为点m， 若半径r=5，om=3，求ab、cm的长；
若半径r=5，ab=8，求om、cm的长；
由①②两题的启发，你还能编出其它什么问题？
学情预设］ 问题1，大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，师可以适时地引导。当ab与cd是⊙o的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦ab不是直径时，结论才会成立。
问题2，有学生写不完整或重复，要引导找规律：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论，才能不重复不遗漏。
设计意图］对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和**的乐趣，感受合作交流的重要性。
师生共同归纳：垂径定理的推论：
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2）弦的垂直平分线会经过圆心，并且平分弦所对的弧。……
问题3】现在你有办法找出圆形硬币的圆心吗？
学情预设］作圆中两条弦的垂直平分线，交点就是圆心。
设计意图］首尾呼应，学以致用。
三、应用新知，探寻规律。
例1】：（7页例题）如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧cd，点o是弧cd的圆心)，其中cd=600m，e为弧cd上一点，且oe⊥cd，垂足为f，ef=90 m．求这段弯路的半径．(书本例题，可归为引例中哪种类型？)
设计意图］让学生在实践中悟出垂径定理应用：在四个量半径r、弦ab的长、弦心距om长、弓形高cm的长中，任已知两个量可以求出另两个量。一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系。
练习1:在半径为50㎜的圆o中，有长50㎜的弦ab，计算：⑴点o与ab的距离；⑵∠aob的度数。
例2】 如图，已知在⊙o中，弦ab的长为8厘米，圆心o到ab的距离为3厘米，求⊙o的半径。
若oa=10cm,oe=6cm,求弦ab的长。
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
即右上图中的oe叫弦心距。
习题：1、如图，p为⊙o的弦ba延长线上一点，pa＝ab＝2，po＝5，求⊙o的半径。
2、如图，圆o的弦ab＝8 ㎝ dc＝2㎝，直径ce⊥ab于d，求半径oc的长。
3、在圆o中，直径ce⊥ab于 d，od=4 ㎝，弦ac求圆o的半径。
例3 已知：如图，在以o为圆心。
的两个同心圆中，大圆的弦ab交小。
圆于c，d两点。
求证：ac＝bd。
证明：过o作oe⊥ab，垂足为e，则ae＝be，ce＝de。
ae－ce＝be－de。
所以，ac＝bd
思考题：已知：ab是⊙o直径，cd是弦，ae⊥cd，bf⊥cd
求证：ec＝df
四、课堂小结，分享收获。
这节课在内容方面你学习了哪些知识？在方法方面你学会了什么？你还有什么疑惑、发现、体会与感悟与我们交流？想进一步**的问题是什么？
设计意图］用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，提炼其中蕴含的数学思想方法，学会自我评价、自我反思，取长补短、资源共享。
五、课后作业，加深理解。
完成课后的随堂练习和习题4.2，其中试一试为选做题；类比迁移今天的学习方法尝试**圆的中心对称性。
设计说明。1.分析学情，拟定思路。
圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，学生在学习对称性时已有所有解。但“圆”的学习，学生由学习直线型到曲线型，对圆的性质进行全面深入的**，要求进一步巩固和提高推理论证方法，熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法的推理过程，在认识和思维上是一大飞跃。充分利用以前学习中积累的折叠、对称、平移、旋转、推理证明等经验展开**，是突破本章学习的重要途径。
2.整合教法，体现主体。
课堂设计符合学科特点和学生实际，创设“找圆心”情境新颖、有趣、自然，注重垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学，关注学生自主学习、合作学习和**学习方式的指导，体现学生的主体地位，突出数学的运动变化、分类等思维与方法，开放教学过程，创设了和谐融洽学习氛围。
3.创新教材，突显特色。
本节课大胆地对教材进行创新、变式，以连贯顺畅的问题情境和问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维。课堂设计体现了创——创设情境激兴趣，探——探索新知有合作，导——引导**重方法，思——归纳反思促提高，学生在动口、动手、动脑活动中真正理解知识，获得了数学活动的经验，提升了能力。
3 2圆的对称性 第一课时
九年级数学 3.2 圆的对称性 第一课时 学习重点 垂径定理及其应用 学习难点 垂径定理及其应用 预习展示 一 旧知识回顾 1 什么是轴对称图形？轴对称图形有什么性质？2 什么是圆？点和圆有哪几种位置关系？二 学法指导 先用6分钟的时间认真仔细阅读课本p96 100页，然后用8分钟时间独立完成教材助...
圆的对称性 第一课时 导学案
3.2 圆的对称性 第一课时 导学学案。导入情景 我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的赵州桥 又称安济桥 该桥在隋朝大业初年 公元605年左右 为李春所创建，是一座空腹式的圆弧形石拱桥，赵州桥的设计构思和工艺的精巧，被誉为 国际历史土木工程的里程碑 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度为37....
等腰梯形的轴对称性第一课时教案
1 6等腰梯形的轴对称性。第一课时 教学目标 1 知道等腰梯形的概念 等腰梯形的轴对称性及其相关的性质 2 知道一个梯形是等腰梯形的判定条件 3 能运用等腰梯形的性质进行计算和说理 4 在等腰梯形的性质和判定条件的 过程中，进一步学习有条理地思考和表达，体会转化 类比等数学思想方法在解决问题中的作用...