数学建模试题

题一：现代社会的兔子家族为挽回祖先赛跑失败的面子，决定与龟家族再赛一次。在战书上兔子家族为显示自己的实力，表示先让龟跑500米（全程2000米）。

龟家族得到战书后，召开全族会议商讨对策。按实力龟是不可能赢的，但又不想丢祖先的面子。就在这时，一头神龟出现了，声称要智胜对手。

最终龟家族的回复：现代社会体质重要，但智力更重要。我们可以在桌面上就战胜你们，何需赛跑，有胆桌面上见！

兔家族认为实力决定一切，不怕上桌面，就欣然答应了！在桌面前神龟说：因为你们的自大，使你们丧失了挽回祖先面子的机会。

以下是我的论述

设龟的速度为v1，兔的速度为v2，因为兔先跑500米，所以设龟兔相距s0，如图，

abcd s0s1s2s3---

龟龟龟龟龟…

兔兔兔兔…

比赛开始后，龟先到 a处后，兔再跑。兔到a处需要时间t1，在t1时间内龟跑到b处；兔跑到b处需要用时间t2，在t2时间内龟走到c处；兔跑到c处需要时间t3，在t3时间内龟跑到d处，依次类推，可得到兔只能无限接近龟，但无法赶上龟，所以兔一定赢不了龟。

兔家族思考很久，没有发现龟的推理的问题。后悔当初让龟先跑500米，后悔晚已，只能认输回家。但我们认真想一下，现实中兔是可以赶上龟的，但这是为什么呢？龟的推理错在**呢？

题二：把1,2,3,4……1986，1987这1987个自然数均匀排成一个大圆圈，从1开始数：隔过1划2，3；隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划下去，问：

最后剩下哪个数。

题三：我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。

每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。

问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？

题四：你现在是不是正坐在某个房间里的计算机前，一不小心掉进了这个数学世界？听我说，你可能永远都走不出这个房间去！大约二千三百年前，希腊的一位哲人zeno（季诺）给出如下证明。

证明：一个人要想走到门前去，就必须先走过从脚下到房门之间的距离的一半，然后还必须走过剩下的距离的一半，再走过剩下的距离的一半，..以此类推。

因为距离无论多么小，总可以无限细分下去，这个过程就必须进行无穷多次，这个人岂非终其一生都走不出那道门去？

题五：从前，一个农夫带了一只狗，一只兔子和一棵青菜，来到河边，他要把这三件东西带过河去。那儿仅有一只很小的旧船，农夫最多只能带其中的一样东西上船，否则就有沉船的危险。

刚开始，他带了菜上船，回头一看，调皮的狗正在欺侮胆小的兔子。他连忙把菜放在岸上，带着狗上船，但贪嘴的兔子又要吃鲜嫩的青菜，农夫只好又回来。他坐在岸边，看着这三件东西，静静地思索了一番，终于想出了一个渡河的办法。

小朋友，你知道农夫是怎么做的吗？

题六：一位3米高的巨人，沿赤道环绕地球步行一周。那么他的脚底沿赤道圆周移动了一圈，他的头顶画出了一个比赤道更大的圆。

已知地球赤道的半径是6371千米。在这次环球旅行中，这位巨人的头顶比他的脚底多走了多少千米？

题七：两艘渡轮在同一时刻驶离哈德孙河的两岸，一艘从纽约驶往泽西，另一艘从泽西开往纽约，其中一艘开得比另一艘快些，因此它们在距较近的岸720码处相遇。

到达预定地点后，每艘船要停留10分钟，以便让乘客上下船，然后它们又返航。这两艘渡轮在距另一岸400码处重新相遇。试问：哈德孙河有多宽？

题八：农场主史密斯和他老婆每隔一年半就生一个孩子，他们一共生了15个孩子。大女儿波卡亨特说，她的年龄是这窝孩子中最小的小约翰船长的8倍。试求波卡亨特小姐的年龄。

题九：有一人去店里买酒，明知店里只有两个舀勺，分别能舀七两和十一两酒，却硬要老板给他二两，老板在两个勺子中将酒倒来倒去。竟真倒出二两酒来。你能写出过程吗？