山东工商学院。
数学建模**。
**题目：野兔生长问题
姓名1： 张春燕学号： 10111229
姓名2： 孔岩学号： 10111211
专业：信息与计算科学。
班级：102
时间：2023年6月3日。
摘要。参照题目，野兔生长属自然范畴，在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的。题中可读，野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，天地的捕杀，自然灾害，疾病等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。
之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种**展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立logistic模型，我们小组得出t=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。
该结果比较符合客观规律。
利用logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的**、国民生产总值的**等；也可作为其它复杂模型的理论基础如lotka-volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。
关键字：logistic模型生态学 matlab程序
问题重述。野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。
自然很复杂，存在着许多影响种**展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈j型增长的。现实情况中，种群一般是呈s型增长的，从题中**看出，野兔的数量并不是单一地增长，t=3，6.
90568；t=4，6.00512；t=5，5.56495；t=6，5.
32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们**了其中的因素：
1）兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。
1）自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。
2）天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。
3）疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。
4）人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。
考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个logistic模型来模拟。
问题分析。我们先假设在一个小的单位时间间隔内新出生的兔子百分比为 b， 类似的兔子死亡率的百分比为 c。换句话，新的兔子数 p(t+ t)是原有兔子数 p(t)加上在 t 时间内新增兔子数减去死亡兔子数，即 p(t+ t)=p(t)+bp(t) t-cp(t) t 或这样我们把问题化归到如何确定 k。
一旦 k 被确定，通过已知数据，我们解这个微分方程，就可以得到一个野兔数量随时间变化的函数了。 我们考虑（式 2-1） 中度量增长率的比例因子 k 是兔子数的函数而不是常数。 （否则当 k 是常数时我们知道兔子数将成指数增长，这是令人难以置信、不切实际的。
）考虑到在一定区域内，兔子的生存空间是有限的 ，食物是有限的，且存在种间竞争与种内竞争，结合生物学理论可知兔子数量必然趋于某个饱和值，是有限的。我们假设这个饱和值是 m， 则合理的猜测是随着兔子数的增长并逐渐接近饱和值 m 时， 比率 k 逐渐减小。关于 k 的一个简单情形是线性的子模型 k=r(m-p), r>0 其中 r 是常数 ， 代入 ( 式 2-1) 得到。
4dp = r(m p)p dtp(t0)=p0 求解微分方程我们得到：
rm (tt )(t ≤ t ≤ t )(式 2-2) p(t) =p me mp +perm (tt )（式 2-3）
这个模型最早是由丹麦生物数学家 pierre-francois verhulst(1804--1849) 提出的，称为 logistic 增长模型。在下面的模型求解部分，我们将大量使用该函数来模拟野兔生长状态。当然(式 2-3)的得出依赖着假设 k 是一个简单的线性子模型，我们将在模型的改进部分对此作一些讨论。
3、模型的假设对模型的假设，我们在问题的分析中已经提到，为严谨在此完整列出。 野生兔的生活空间是有限的，食物是有限的，存在着种间竞争与种内竞争。因此野生兔的数量将趋于一个稳定的饱和值。
假设除了 t=4、t=5 这两年外，野生兔的生长条件（包括天敌，气侯食物，空间，雌雄比例等）是近似的。 假设统计数据是可靠的。 度量野兔数量增长率的比例因子 k 是线性的子模型。
4、符号说明在问题分析部分已出现并说明了一些符号，为严谨这里完整列出。 m: 野兔种群数量的饱和值 p(t)或 p:
野兔种群数量随时间的函数 k: 增长率比例因子 pi ： 值 c1,c2 ,c ：
t，t： m ： 时间为 t=i 时所对应的野兔数量统计积分得到的常数时间变量表示斜率 m2 m3
p c1 , pc2 ,p , p m1 ,p , p c3
模型假设。上述，野兔生长问题，我们假设。
1）假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。
2）假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
3）假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。
4）假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；
5）设第十年的兔子数量为 x， t=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 对应于兔子当年的数量，y 分别为 2.31969，4.50853，6.
90568，6.90568，6.00512， 5.
56495，5.32807，7.56101，8.
9392，9.5817，m
6）p 为第十年的兔子数量，需要通过简单平均移动法来求解，那它是可以用logistic模型来模拟的。
符号说明。x 为兔子的生长的年份 y 为兔子对应年的数量 m 为兔子第 10 年的数量 x7 为第 7 年兔子数量 x8 为第 8 年的兔子数量 x9 为第 9 年的兔子数量。
分析与建立模型。
对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。
第一单调增区间。
第一单调减区间。
第二单调增区间。
我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic模型。
模型求解。对于logistic连续模型，设微分方程为
其中参数a，b 需要通过拟合得到（1）的解为。
设已知连续三年的数据，其中，则由（2）得方程组3)
这三个方程中有三个未知量可以解出a,b如下： 将（3）中第一式代入第。
二、三式消去x0， 得。
消去a 后得b 满足的方程。
解得代入(4) 的第一式得a 满足的方程。
求参数a,b的matlab程序。
function [a,b, q]=hare(p,t)
输入单调的连续三年数量p和时间间隔t(本题t=1), 输出参数 a, b和下一年的数量q
a=log(p(3)*(p(2)-p(1))/p(1)*(p(3)-p(2)))
b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2);
q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*t)）;
在第一个上升阶段， 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a，b值。
在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a，b值。
在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a，b值。
当取a, b为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到**数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1 时，**数为9.84194（十万）.
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