《数学建模》实验报告。
实验一：matlab函数拟合。
学时：4学时。
实验目的：掌握用matlab进行函数拟合的方法。
实验内容：解：问题分析制定“2秒准则”是为了在后车急刹车的情况下不致撞上前车，即要确定汽车的刹车距离。显然，刹车距离与车速有关。
刹车过程分为两个阶段，第一阶段：司机反应阶段，是指从司机决定刹车到制动机开始起作用，这个阶段时间内汽车行驶的距离称为反应距离；第二阶段：从制动机开始起作用到汽车完全停止行驶，这个阶段称为制动阶段，在这阶段时间内汽车行驶的距离称为制动距离。
因此，刹车距离=反应距离+制动距离。
反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况和制动机的灵敏性，对于一般规则可以视反应时间为常数，且在这段时间内车速未改变。
制动距离与制动器作用力、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个能量耗散装置，制动力做的功被汽车动能的改变所抵消。对于一般规则又可以看做固定的。
模型假设基于上述分析，做以下假设：
1） 刹车距离为，反应距离为，制动距离为，且刹车距离等于反应距离与制动距离之和，即。
2） 反应距离为与车速为成正比，比例系数为反应时间。
3） 刹车使用最大制动力，作的功等于汽车功能的改变，且与车的质量成正比，即。
模型建立由假设2，1）
由假设3，在的作用下行驶了距离所作的功为使车速从变成0，动能的变化为，有，又，即，由牛顿第二定律知，刹车时的加速度为常数，于是。
而实际上，.
由假设1，刹车距离为
模型求解用matalb函数拟合法求解。
建立m函数。
function y=f1(k,v)
y=k(1).*v+k(2).*v.*v;
在matalb窗口中输入：
> v=[20,40,60,80,100,120,140]./3.6;
> y=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5];
> k=lsqcurvefit(@f1,[20,140],v,y)
optimization terminated: relative function value
changing by less than k =
得到二次拟合多项式 .
即。模型应用根据经验估计，我们可以认为反应时间=0.6522秒是合理的，刹车时间。
按照上述模型可以将“2秒准则”修正为t秒准则，即后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒后到达同一标志。
后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志，t由下表给出：
可见，2秒是相对的，即所谓的“2秒准则”是不合理的，刹车时间与车速有关，应根据车速来确定刹车时间。
实例2：根据美国人口从2023年到2023年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（logistic模型）中的待定参数，估计出美国2023年的人口，同时画出拟合效果的图形。
表1 美国人口统计数据。
解：问题分析最简单的人口增长模型：记今年人口为，年以后人口为，年增长率为，则。
其中年增长率保持不变。
模型建立记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数，我们将视为连续、可微的函数，记初始时刻的人口为，假设人口年增长率为常数。考虑到时间内人口的增量，显然，有。
令，得到满足微分方程。
由方程（2）解得。
时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。
当人口增长到一定数量后，由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，人口增长率就会下降，且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用于体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降，若将r表示为x的函数r(x),则它应是减函数。于是方程，。对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即。
这里称固有增长，表示人口很少时（理论上是）的增长。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入得，于是，这个式子的另一个解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率r。
故，有方程右端的因子体现人口自身的增长趋势，因子则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用，显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。用分离变量法求解得到：
模型求解用matlab进行数据拟合，其结果为4）
将代入（4）由以上结果**2023年的人口为。
附：计算过程：
用matlab进行数据拟合：
建立m文件：
function x=f2(a,t)
x=a(1)./1+(a(1)./3.9-1).*exp(-a(2).*t-1790)./10));
程序运行：> x=[3.9 5.
3 7.2 9.6 12.
9 17.1 23.2 31.
4 38.6 50.2 62.
9 76.0 92.0 106.
5 123.2 131.7 150.
7 179.3 204.0 226.
5 251.4];
> t=1790:10:1990;
> a=lsqcurvefit(@f2,[100,0.2],t,x)
optimization terminated: relative function value
changing by less than a =
> tt=1790:10:1990;xx=f2(a,tt);
> plot(t,x,'r',tt,xx画图。
> f2(a,2000)
ans =255.3640计算年份2023年人口。
拟合效果如图。
实验二：用lindo求解线性规划问题。
学时：4学时。
实验目的：掌握用lindo求解线性规划问题的方法，能够阅读lindo结果报告。
实验内容：解：
问题分析在一定条件下，如何分配投资资金从而获得最大收益，该问题转化为在约束条件下求目标函数最优解。
模型假设基于以上分析，做如下假设：
1） 做广告次数：电视白天次，最佳时段次，网络**次，杂志次。
2） 广告次数是非负整数。
模型建立受广告影响顾客数为，由表中数据，有。
由题中的4个要求，约束条件有：
由假设2，知都大于等于零。
要使得受广告影响顾客数最大，即问题转化为：在约束条件（2）——8）下，求。
max .模型求解用lindo求解。
max 350x1+880x2+430x3+180x4
240x1+450x2+160x3+100x4>2000
45x1-86x2>-450
x1>4
x2>2
x3>5
x3>-8
x4>5
x4>-8
45x1-86x2-25x3-12x4>-750
end gin4
运行结果得：
objective function value
variable valuereduced cost
x1 4.0000000.000000
x2 3.1395350.000000
x3 8.0000000.000000
x4 8.0000000.000000
而由假设知，都取整数，故
影响顾客数最优解值为：
或做课本137页
实例2：求解书本上p130的习题1。列出线性规划模型，然后用lindo求解，根据结果报告得出解决方案。
解：问题分析在一定的条件下，要如何合理分配投资资金从而获得最大收益。这问题转化为在一定的约束条件下，求目标函数的最优解。
数学建模 实验报告
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