题9：磁悬浮实验。
磁悬浮实验装置由铁芯、线圈、光电源、传感器、控制器、功率放大器和被控对象钢球等元器件组成。 电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力，控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重量相平衡，钢球就可以悬浮在空中而处于平衡状态。但是这种平衡状态是一种不稳定的平衡，这是由于电磁铁与钢球之间的电磁力大小与它们之间的距离成反比，只要平衡状态稍微受到扰动（如：
加在电磁铁线圈上的电压产生脉动、周围的震动等），就会导致钢球掉下来或被电磁铁吸住，因此必须对系统实现闭环控制。由光电源和传感器组成的测量装置检测钢球与电磁铁之间的距离变化，当钢球受到扰动下降，钢球与电磁铁之间的距离增大，传感器所敏感的光强增强，其输出电压增大，经控制器调节、功率放大器放大处理候，使电磁铁控制绕组中的控制电流相应增大，电磁力增大，钢球被吸回平衡位置。 (具体参数的数值可以自行给定)。
解：数学模型的建立：
忽略其他干扰力的影响，钢球受到电磁力f和重力mg的作用。钢球在竖直方向上的动力学方程为：
式中：x为磁极到钢球的气隙，即位移；m为钢球的质量；f（i，x）为电磁力。
由麦克斯韦公式得：
其中；为空气磁导率；a为铁芯的磁极面积；n为线圈匝数。
忽略平衡点的电感作用，则电磁铁芯线圈中控制电压与电流的关系为：
式中：l1为线圈自身的电感；r为电磁铁的等效电阻；i为通过线圈的瞬时电流。当球处于平衡状态时，其加速度为0，即钢球所受和外力为0.则由平衡条件可得：
对（2）式线性化，设系统的状态变量为=，，以线圈控制电压为输入，钢球位移为输出的系统状态方程如下：
式中： 将（5）式转化为传递函数的形式：
用matlab进行**分析：
设系统的参数如下：m为28g，r为14欧，为118mh，为15mm，为1.2a，k为。则由劳斯稳定判据，该系统不稳定，所以要对系统加微分控制环节。
在simulink中，对系统的开环和闭环pid控制影响分析，如图1（a）为开环系统的**，其响应结果如图2（a），图1（b）为闭环系统的**，其响应结果如图2（b）。
a）为开环系统的**。
b）闭环系统**。
图1 simulink**。
图2 响应结果
由以上**可知，单位阶跃的干扰信号就会使钢球偏离平衡位置，在闭环系统中，系统只在5s内平衡，与理论分析结果一致。
对系统进行校正。
在实时控制环境下，根据钢球的起浮响应曲线，微调控制器的参数，最终确定pid的参数（kp=0.48,ki=0.004,kd=11）,如图3，图4所示所示，由图4可以看出：
钢球在1.8s左右开始起浮，4s内稳定悬浮，悬浮精度为0.01mm。
图3 校正后系统的simulink**。
图4 校正后系统的simulink**响应曲线。
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