第一章解三角形。
1.1.1 正弦定理。
一、选择题。
1）解：由正弦定理得：又，故。
选（a）.(2)解：选(c).
3）解：，或。 选(d)
4）解： 选(c)
二、填空题。
5)解： 6)解：
7）解：或c=600 时，,a=6
c=1200 时， ,a=3故a=6或a=3
三、解答题。
8）请用向量法证明正弦定理。
如图在中，
证明：由已知可得：在方向上的投影相等。
所以， 所以， 所以
同理可得：
1.1.2余弦定理
一、选择题。
1）解：由余弦定理选（c）
2）解：由余弦定理。 选（a）
3）解：设，最大角为c.
选（c） 4)解：
选（b）二、填空题。
5）解： 6)解：由余弦定理。
再由正弦定理。
7) 解：将及代入得：,因此。
另一方面由。
三、解答题。
8）请用向量的方法证明余弦定理。
如图，在△abc中，ab、bc、ca的长分别为c，a，b，＝＋根据向量的数量积得：
2＋2·＋2＝2＋2|||cosθ＋2
其中，θ是向量与的夹角，θ＝180°－b
2＝2＋2|||cos（180°－b）＋2＝c2－2accosb＋a2
即b2＝c2＋a2－2accosb．
同理可证：a2＝b2＋c2－2bccosa，c2＝a2＋b2－2abcosc．
1.1.3正弦定理、余弦定理应用 .
一、选择题。
1）解：法一：
变形整理得或故为等腰三角形或直角三角形。
法二： 又或（即，故为等腰三角形或直角三角形选(b)
2）由根与系数关系得又由。
因为c为锐角，. 由余弦定理。
选(c)3）解：选c
而。4）解：c
二、填空题。
5）解：由正弦定理或。
当时，由勾股定理得。当时，，
三、解答题。
7）解：∵a、b为三角形的内角，∴sina≠0，sinb≠0．
2a＝2b或2a＝π－2b，∴a＝b或a＋b＝．
所以△abc为等腰三角形或直角三角形．
8）在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值。
分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力。
解法一：由余弦定理，因此， 在△abc中，∠c=180°－∠a－∠b=120°－∠b.
由已知条件，应用正弦定理。
解得从而。解法二：由余弦定理，因此，，由，得。
所以 ①由正弦定理。
由①式知故∠b<∠a，因此∠b为锐角，于是，从而。
1.2.1 应用举例。
一、选择题。
1）已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等，灯塔a在观察站c的北偏东，灯塔b在观察站c的南偏东，则灯塔a在灯塔b的 （ b ）
a)北偏东 (b)北偏西 (c)南偏东 (d)南偏西。
2）某海轮以30海里/小时的速度航行，在点a测得海面上油井p在南偏东，向北航行40分钟后到达点b，测得油井p在南偏东，海轮改为北偏东的。
航向再航行80分钟到达点c，则p，c两点间距离的海里数是 （ a ）
abcd)
二、解答题。
3）如图，为了测河的宽度，在一岸边选定a、b两点，望对岸标记物c，测得∠cab=30°，∠cba=75°，ab=120cm，求河的宽度。
解：由正弦定理得，∴ac=ab=120m，又∵，解得cd=60m。
4）解：由已知，在△cdb中，cd ＝21，db ＝20，bc ＝31，据余弦定理，有cos ∠cdb ＝＝
sin ∠cdb ＝＝
在△acd中，∠cad ＝20°＋40°＝60°， acd ＝∠cdb －∠cad ＝∠cdb －60°．
sin ∠acd ＝sin（∠cdb －60°）
sin ∠cdb cos 60°－cos ∠cdb sin 60°
由正弦定理，得。
ad ＝·sin ∠acd ＝15（千米）．
答：此人距a城15千米．
1.2.2 应用举例。
一、选择题。
1)一电线杆被台风吹断折成的角，电线杆根部与电线杆顶部着地处相距3米，则。
电线杆原来的高度是c ）
ab)米 (cd)米。
2)山坡与水平面成角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路后升高了100米，则此人行走的路程为c ）
a) 300米b) 400米c) 200米d)米。
二、解答题。
3)解：在中，．
由正弦定理得．
所以．在中，．
4) 在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔底沿直线走30米，测得塔顶的仰角为，再向前走米，又测得塔顶的仰角为，求塔高。
解：设，则根据勾股定理得，解得。
答：塔高是15米。
1.2.3 应用举例。
解答题。1）解：设所需时间为t小时，在点b处相遇（如图）
在△abc中，acb = 120, ac = 100, ab = 21t,
bc = 9t, 由余弦定理：
21t)2 = 102 + 9t)2 2×10×9t×cos120
整理得：36t2 9t 10 = 0
解得：（舍去）
由正弦定理。
cab =
2) 解：连接bc,由余弦定理得bc2=202+102－2×20×10cos120°=700.
于是，bc=10. ∵sin∠acb=，∵acb<90°，∴acb=41°。
乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往b处救援。
3)解：因为g是边长为1的正三角形abc的中心，所以 ag＝，mag＝，由正弦定理得，则s1＝gmgasin＝。同理可求得s2＝.
2）y＝＝＝72（3＋）因为，所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240，当＝时，y取得最小值ymin＝216.
全章检测题。
一、选择题。
1）解：d
2）解：由余弦定理得：，周长为。
选（d）3)解：因为a、b、c成等比数列，所以。
由余弦定理得： =
又因为∠b (0，)，所以0＜b≤．
故选d.4) 解： ∵由正弦定理得+==
∴+=即=. 故选c.
5) 解：由余弦定理得，整理得：
解得选（c）
6) 解：选（b）
7)解： 又
选（b）(8) 解：由余弦定理得。
边上的高= 选（b）
二、填空题。
9)解：由正弦定理得。
10）解：（1）∵
cos求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
cos ∴11)解：成等差数列，
在中， 三、解答题。
解：（ⅰ由余弦定理得。
ⅱ）由且，得。
由正弦定理得：
由倍角公式且。
13）解： 由题意，得为锐角，，
由正弦定理得， ．
14）解：如图，连结，由已知，又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
15）解：（ⅰ又，．
ⅱ），边最大，即．
又，角最小，边为最小边．
由且，得．由得：．
所以，最小边．
第二章数列。
2.1数列的概念与简单表示法1.
一、选择题。
1．d 2．c 3．d 4．c
二、填空题。
7． 图略。 通项公式为；
三、解答题。
8．(ⅰ提示：第1堆一个球，第2堆底层有1+2个球，…第堆底层有个球，把第1行和第行加在一起是个球，共有组。
2.1数列的概念与简单表示法2.
一、选择题。
1．b 2．c 3．d 4．a
二、填空题。
5． 6．提示：每个图去掉最左边的两块白色砖后，每块黑色砖都对应着四块白色砖，所以白砖共有块。
7． （题条件不全）
三、解答题。
8． 图中点。的坐标为。
2.2 等差数列（1）
一、选择题
1．d 2．d 3．d 4．d
二、填空题
三、解答题。
9． 解：运用方程解得：（a2－d）+a2+(a2+d)=12…①
a2－d）·a2·(a2+d)=48…②
联立①②解得：a2=4,d=2
a1=a2－d=2.
2.2 等差数列（2）
一、选择题。
1．b 2．a 3．b 4．b
二、填空题
三、解答题
8．证明：.
即。为等差数列。
9.解： 2.3等差数列的前n项和（1）
一、选择题。
1．a 2．b 3．b 4．c
二、填空题
三、解答题
2.3 等差数列的前n项和（2）
一、选择题
1．a 2．a 3．a 4．c
二、填空题。
5．45 6．210 7．6n-1
三、解答题。
9. 2.4 等比数列（1）
一、选择题
1．c 2．a 3．c 4．d
二、填空题
三、解答题。
2.4 等比数列（2）
一、选择题。
1．c 2．a 3．b 4．c
二、填空题
5．1,3,9 6．4 7．x2－12x＋25＝0．
三、解答题
8．(1)由得。
故数列是等比数列。
(2)由(1)知。
或a=11，b=5，c=-1
2.5等比数列的前n项和。
一、选择题
1．d 2．b 3．d 4．c
二、填空题
三、解答题
（2）n=5
数列求和答案。
1 c 2 b 3 b 4 b 5 6 7 8 27，9（ⅰ）证明：由题设，得。
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