第二章函数同步辅导。
第一讲映射与函数。
一、辅导内容
1． 映射、一一映射的定义和概念的理解。
2． 函数的定义、表示。
3． 函数的三要素及函数的表达方法。
二、重点、难点讲解。
1．映射、一一映射。
（1）集合a到集合b的映射有三个要素，即集合a、集合b和对应法则。其中集合a和集合是有先后顺序的，因为一般情况下a到b的映射和b到a的映射是不同的映射。而对于集合a和集合b的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象。
（2）一个对应要满足下面两个条件才能称为集合a到集合b的映射：①集合a中的每一个元素（一个不漏地）在集合b中都有象（但集合b中的每一个元素不一定都有原象）；②集合a中的每一个元素在集合b中的象只有唯一的一个（集合b中的元素在集合a中的原象可能不止一个）.也就是说，图1和图2所示的两种对应不能称为映射。
（3）对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象，则这样的映射称为“集合a到集合b上的映射”.如果在此基础上再加上一个条件，要求集合b中的每一个元素在集合a中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为“集合a到集合b上的一一映射”.
例1 如图3，集合a}，b=.判断下列对应中，（1）哪些是集合a到集合b的映射；(2)哪些是集合a到集合b上的映射；（3）哪些是集合a到集合b上的一一映射。
解（1）②和④是集合a到集合b的映射，①中集合a的元素3在集合中没有象；③中集合a的元素3在集合b中有两个象，它们都不是映射。
2）②是集合a到集合b上的映射。④中集合b的元素b在集合a中没有原象。
3）②是集合a到集合b上的一一映射。
例2 已知集合a={}b={}判断下列各对应f是否是集合a到集合b的映射？一一映射？并说明理由。
解 （1因此对集合a的每一个元素，，所以对应：是集合a到集合b的映射。
对于集合b中的每一个元素，由及，有。
即集合b中的每一个元素在集合a中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应：是一一映射。
（2所以对于集合a中的每一个元素，在集合b中都有唯一的象，因此对应：是映射。
而集合b中有些元素，如，在集合a中没有原象，因此映射：不是一一映射。
（3由此知集合a的某些元素，如，在集合b中没有象，因此对应：不是映射，更不是一一映射。
（4因此对于集合a中的每一个元素，在集合b中都有唯一的象，所以对应：是映射。
由，对于集合b中的每一个元素，，即集合b中的每一个元素在集合a中有唯一的原象，因此映射：是一一映射。
5）集合a中的每一个元素在集合b中都有唯一的象。对于集合a中的元素和，都对应于集合b中的同一个元素，所以对应：是映射，但不是一一映射。
2. 函数。
1）函数的定义。
在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义。传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系。由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释。
因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性。当然，两种定义的本质是一样的。
集合a到集合b的映射：要成为函数，还必须满足两个条件：①集合a、b都是非空集合；②集合a、b都是数的集合。
其中集合a就是函数的定义域，而集合b不一定是值域。一般地说，值域c是集合b的子集，即。（若集合，则这个映射就成为集合a到集合b上的映射）.
2）函数的三要素。
定义域a，值域c和定义域a到值域c的对应法则，构成了函数的三个要素。当且仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数。 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同。
3）区间。设、，且。用闭区间表示集合{}，用开区间表示集合{}，用半开半闭区间表示集合{}，用半开半闭区间表示集合{}.
4）函数的表示法。
函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处。
要搞清符号和（为常数）的区别。一般情况下，是一个随自变量的变化而变化的变量，而是当自变量时函数的值，是一个确定的量。
与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中（或不同条件下）表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，一些线段，或一些曲线。
例3 判断下列各对函数是否是同一个函数，并说明理由。
解 （1）不是同一个函数，两者的定义域不同， 它们的定义域分别为和。
（2）不是同一个函数，它们的对应法则和值域都不同。，其值域为； ，其值域为。
（3）不是同一个函数，它们的定义域不同。定义域分别为和。
（4）不是同一个函数，它们的定义域不同，定义域分别是和。
（5）是同一个函数， .
（6）是同一个函数，虽然自变量用不同的字母表示，但定义域、值域和对应法则都相同。
例4 已知， ，求和 .
解 =.评析由此可见，在求时，只要用代替表达式中的，然后再将的表达式代入其中，就可以求得。一般来说，.
例5 （1）已知
求，，，2）已知且， 求。
解 （1(2)当； 当；当
例6 （1）画出函数的图像；
（2）画出函数的图像；
（3）已知函数的图像如右图，写出的解析式。
解 （1图7—4
图像如下图左。
(2)当，即或时，；
当，即时，
图像如下图右。
评析 （1）对于含有绝对值的函数的图像，通常先用零点分区间法得出函数的解析式，然后以分段函数的形式写出函数的解析式，再画出函数的图像。
2）由第（2）题可见，画的图像，只要把的图像在轴下方部分“翻到”轴上方，即作出这一部分图像关于轴的对称曲线，而在轴上方的曲线保持不变，就可以得到函数的图像。
3）函数的定义域如果没有特别说明，通常指使式子有意义的一切自变量的集合，在实际问题中，还应考虑自变量要满足的实际问题的条件。
我们现在涉及到的使式子有意义的情况，仅是分母不能为零，负数不能开偶次方。今后学习了其他函数，还会出现另外一些情况。
例7 求下列函数的定义域：
解 （1）∴定义域为。
（2）由。由， ；
由， .定义域为 .
定义域为。评析对于繁分式，一条分数线即有一个限制条件，本题有三条分数线，因此有三个限制条件。
例8 已知函数的定义域为[-1，2]，求函数的定义域。
解由中的必须满足，因此中的必须满足：
即 的定义域为 .
例9 （1）已知，求；
（2）已知函数的定义域是，且，求；
(3)已知，求。
解 （1）设，则 ，2）由将换成，得。
3×①－2×② 得 ，.x≠0)
3）令，则 .
例10 设画出函数的图像。
解由已知，
图像如图所示。
练习。一、选择题。
1．设是从集合a到集合b的映射，下列四个说法：①集合a中的每一个元素在集合b中都有象；②集合b中的每一个元素在集合a中都有原象；③集合a中不同的元素在集合b中的象也不同；④集合b中不同的元素在集合a中的原象也不同，其中正确的是 （
a．①和b．②和③
c．③和d．①和④
2．已知集合a=，b=，则下列对应关系中，不能看成是从集合a到集合b的映射的是。
ab．： cd．：
3．下列三个命题：①函数是从定义域到值域的一一映射；②函数的定义域和值域可能是数集，也可能不是数集；③函数的定义域和值域都不能是空集。其中真命题是 （
ab．②cd．①和③
4．下列各组函数其中和表示同一个函数的是 （
ab．①和②
高一数学函数
2.1.1函数。教学目标 理解映射的概念 用映射的观点建立函数的概念。教学重点 用映射的观点建立函数的概念。教学过程 1 通过对教材上例4 例5 例6的研究，引入映射的概念。注 1，补充例子 投掷飞标时，每一支飞标射到盘上时，是射到盘上的唯一点上。于是，如果我们把a看作是飞标组成的集合，b看作是盘上...
高一数学函数
高一数学试题。编刻人 战京增黄桂芬班级成绩。一 选择题。1 下列各组中表示同一函数的是 a和b与 c与d与。2 已知，则的植等于 a 2b 3c 4d 5 3 函数的值域是 a b c d 4已知唯一的零点在区间 内，那么下面命题错误的 a 函数在或内有零点 b 函数在内无零点。c 函数在内有零点 ...
高一数学 函数
必修 系列训练9 指数函数。一 选择题 共36分 1.下列以为自变量的函数中，是指数函数的是。a b c d 2.如果函数f x a2 1 x在r上是减函数，那么实数a的取值范围是 a a 1 b a 2 c a 3 d 1 a 3.函数的值域是。a b c d r 4.若a 1,1 a 第。一 二...