函数。1、函数的概念。
2、函数的定义域。
3、函数的值域。
4、函数的表示。
5、函数的单调性。
6、函数的奇偶性。
7、函数的图像。
8、函数的运算、大小比较。
9、抽象函数的问题。
1、函数的概念。
1)函数与映射的关系。
映射f：a→b，一对一，多对一，允许b中有元素无原象。p25/例1
函数是一种特殊的映射。它是非空数集到非空数集的映射p19/例1、p20/1。
2)构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域。
3)只有函数的定义域、值域和对应法则都相同的两个函数才是同一个函数。p20/2、p61/1
2、函数的定义域。
函数定义域求法：
分式中的分母不为零；
偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。p49/例2、p55/例4、p56/3、p62/7
实际应用的限制p21/10、p28/9三角函数等等。
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。p19/例2、变式2、p43/13、p75/3、p39/14
复合函数的定义域的求法：p20/例4、变式、p32/14、p62/9、p64/5
3、函数的值域（首先要挖掘隐含的定义域）
1、直接观察法p20/7
2、配方法（二次函数形式）p20/6、p42/例9
3、判别式法（分式函数，特别是分子或分母中有一个是二次）
4、分离常数法（系数分离法）
适用于形如y=（ac≠0）的形式，实际上值域就是y≠（x的系数比）
p26/例3（1）、变式3、p27/4、p42/例10
5、反函数法（通过定义域来确定值域）
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。p26/例3（1）、变式3、
6、不等式法。
利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
7、函数单调性法 p36/例1
8、换元法（适用于含有根式或三角函数公式模型）
型值域，p42/例11
9、数形结合法（具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等）
例求函数y=+的值域。
解：原函数可变形为：y=+_
上式可看成x轴上的点p（x，0）到两定点a（3，2），b（-2_，-1_）的距离之和，由图可知当点p为线段与x轴的交点时y=∣ab∣=_故所求函数的值域为[，+
10 、函数有界性法。
利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域，最常用的就是三角函数的单调性）
11、倒数法。
例求函数y=的值域。
最值问题。4、函数的表示。
1．常用的函数表示法。
1）解析法：
2）列表法：
3）图象法：p24/1
2．分段函数。
3．复合函数 y=f[g(x)]
函数解析式的求法：
1、配凑法p25/例2（1）
2、换元法p25/例2（2）、p26/变式2
3、待定系数法p23/例3、变式3、p24/7、p、p39/12
4、方程组法p25/例2（3）
p32/10
5、函数的单调性（注：①先确定定义域；②单调性证明一定要用定义）
1、定义：区间d上任意两个值，若时有，称为d上增函数，若时有，称为d上减函数。p36/例1
也可以变形为求的正负号或者与1的关系p31/2
2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
基本初等函数的单调性：看书p29 p
利用导数判断函数的单调性。
复合函数的单调性。
6、函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）
奇函数。判断函数奇偶性的方法p36
1）定义域法。
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件。若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。
2）奇偶函数定义法。
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性。
3）复合函数奇偶性。
7、函数的图象。
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；
平移变换：、水平平移： 1）y=f(x) y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(xh)；
、竖直平移： 1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)h。
对称变换：、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；
、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到。
、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；
翻折变换：、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到。
伸缩变换：、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；
、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。
记住常用函数的图象和性质。
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
的双曲线。应用：
“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程。
求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
p42/例8
p69/12
由图象记性质。
注意底数的限定！）
指数函数看p48/2、对数函数看p60/2（3）、常见的幂函数看p73
p50/6、p51/例1、p52/变式1、例2、变式、p53/4、p61/3
p66/例1、p67/变式2、变式3、p、p69/13
p71/变式3、p、p74/变式4、
特殊值法p27/1、p28/14
函数与方程。
函数的零点与方程根的关系。
1、判别式。
2、数形结合。
p35/5、p52/变式3、p53/8、p63/例1、变式1、p67/例3、p68/3、p77/1
8、函数的运算、大小比较。
对数和指数的相互转换。
p47/10、p55/例2
p58/例3、例4
大小比较。p61/例、p62/6、p65/8、p68/7
9、抽象函数的问题
求解抽象函数问题的常用方法有：
1) 模型函数法：常见抽象函数模型所对应的具体函数模型归纳列表如下：
2) 函数性质法：函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性p21/14、特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此。要充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化。
常用的方法有：①利用奇偶性整体思考；②利用单调性等价转化；③利用周期性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借助于特殊点布列方程(组)等。
3) 特殊化方法：①在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，将x换成-x或将x换成等；②在求函数值时，可用特殊值(如0或1或-1)“代入”;③研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和方法。
（赋值法、结构变换法）
主要使用赋值法。
1、 代y=x，2、 令x=0或±1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1
p31/变式4
p34/例4
p21/12
p37/例3
p20/4值域练习题。
例1．求下列函数的值域：
7）；（8）y=（2≤x≤10）
解：（1）（配方法），的值域为。
改题：求函数，的值域。
解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。
函数，的值域为。
2）求复合函数的值域：
设（），则原函数可化为。
又∵，，故，的值域为。
3）（法一）反函数法：
的反函数为，其定义域为，原函数的值域为。
法二）分离变量法：，，函数的值域为。
4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，∴，原函数值域为。
注：总结型值域，变形：或。
5）三角换元法：，∴设，则，∴，原函数的值域为。
6）数形结合法：，，函数值域为。
7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为。
由得： ①当即时，①即，∴
当即时，∵时方程恒有实根，△，且，原函数的值域为。
最值。一）判别式法
1、已知，其中是实数，则的最大值为。
解：设，由得，
是方程的两个实根。
整理化简， 得，故。 即的最大值为2
2、实数满足，设，则的值为___
解：由题意知， ,故。
又是方程的两个实根。
解得，即。二）单调性法。
3、求函数，的最大值和最小值。
解： ，令，.当时，有
在上是减函数，因此， ，三）换元法。
4、正数满足，其中为不相等的正常数，求的最小值。
解：令。则
当且仅当，即时上式取等号。故。
四）数形结合。
5、求函数的最小值。
解：令，则且，于是问题转化为：当点在上半个单位圆上运动时，求与的连线的斜率的最值(如图).
显然，当点与点重合时，直线的斜率最小，此时。当直线与上半个单位圆相切时，直线的斜率最大。
高一数学函数
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