二倍角的正弦、余弦、正切（三）
●教学目标。
(一)知识目标。
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式：
(1)sin2α＝2sinαcosα
(2)cos2α＝cos2α-sin2α＝2cos2α-1＝1-2sin2α
(3)tan2α＝
(二)能力目标。
(1)灵活应用和、差、倍角公式；
(2)掌握和差化积与积化和差的方法(不要求记忆)．
(三)德育目标。
(1)培养学生联系变化的观点；
(2)提高学生的思维能力．
●教学重点。
和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用．
●教学难点。
二倍角公式的变形式的灵活应用．
●教学方法。
引导学生推得二倍角公式的变形式，从而使学生加深对二倍角公式的理解与应用．(启发诱导式)
●教具准备。
幻灯片三张。
第一张(§4．7．3 a)：
第二张(§4．7．3 b)：
第三张(§4．7．3 c)：
ⅰ．课题导入。
［师］现在我们进一步**和角、差角、倍角公式的应用．
先看本章开始所提问题，在本章开始的图例，令∠aob＝θ，则ab＝asinθ，oa＝acosθ，所以矩形abcd的面积s＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2
当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ45°时，a2sin2θ＝a2＝smax
不难看出，当a、d两点与o点的距离都是a时，矩形的面积最大，于是问题得到解决．
ⅱ．讲授新课。
［师］再看下面的例题。
［例1］求证sin2＝
分析：此等式中的α可作为的2倍．
证明：在倍角公式cos2α＝1-2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得cosα＝1-2sin2
∴ sin2＝
［师］请同学们试证以下两式：
(1)cos2＝
(2)tan2＝
［生］证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α-1中以α代替2α、以代替α，即得cosα＝2cos2-1
∴ cos2＝
(2)由tan2＝ ＝cos2＝
得tan2(打出幻灯片§4．7．3 a，让学生观察)
［师］这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的)．
这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法．
另外，在这三式中，如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan．
下面，再来看一例子．
［例2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋sin(α-
分析：只要将s(α＋s(α-公式相加，即可推证．
证明：由sin(α＋sinαcosβ＋cosαsin
sin(α-sinαcosβ-cosαsin
①＋②得：sin(α＋sin(α-2sinαcosβ
即：sinα·cosβ＝［sin(α＋sin(α-
［师］请同学们试证下面三式：
(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋sin(α-
(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋cos(α-
(3)sinα·sinβ＝-cos(α＋cos(α-
［生］思考片刻，自证．
证明：(1)由sin(α＋sinαcosβ＋cosαsin
sin(α-sinαcosβ-cosαsin
①-②得：sin(α＋sin(α-2cosαsinβ
即：cosαsinβ＝［sin(α＋sin(α-
(2)由cos(α＋cosαcosβ-sinαsin
cos(α-cosαcosβ＋sinαsin
①＋②得：cos(α＋cos(α-2cosαcosβ
即：cosαcosβ＝［cos(α＋cos(α-
(3)由cos(α＋cosαcosβ-sinαsin
cos(α-cosαcosβ＋sinαsin
①-②得cos(α＋cos(α-2sinαsinβ
即：sinαsinβ＝-cos(α＋cos(α-
(打出幻灯片§4．7．3 b，让学生对照)
［师］不难看出，这一组式子也有一共同特点：即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式．
［师］和差形式是否可以化为乘积的形式呢？看这一例子．
［例3］求证sinθ＋sin＝2sincos
分析：θ可由＋代替，＝-
证明：左式＝sinθ＋sin
＝sin［＋］sin［-］
＝sincos＋cossin＋sincos-cossin
2sincos＝右边。
［师］请同学们再证下面三式．
(1)sinθ-sin＝2cos·sin；
(2)cosθ＋cos＝2cos·cos；
(3)cosθ-cos＝-2sin·sin．
［生］证明：(1)令θ＝＋
则左边＝sinθ-sin＝sin［＋］sin［-］
＝sincos＋cossin-sincos＋cossin
2cossin＝右边。
(2)左边＝cosθ＋cos
＝cos［＋］cos［-］
＝coscos-sinsin＋coscos＋sinsin
2coscos＝右边。
(3)左边＝cosθ-cos
＝cos［＋］cos［-］
＝coscos-sinsin-coscos-sinsin
＝-2sinsin＝右边．
(打出幻灯片§4．7．3 c)
［师］这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆．
ⅲ．课堂练习。
［生］(板演练习)课本p46 1．
证明：tan＝
∴ 原式得证．
［师］若发现题目中所出现的角有二倍关系，不妨考虑使用二倍角公式．
ⅳ．课时小结。
通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系．另外，要注意半角公式的推导与正确使用．当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的．
ⅴ．课后作业。
(一)课本p47习题4．7 3．
(二)1．预习内容。
课本p48～p49
2．预习提纲。
(1)怎样利用单位圆画正弦曲线？
(2)余弦曲线与正弦曲线的关系如何？
●板书设计。
●备课资料。
1．已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α-2sin2β＝0．求证：α＋2β＝
证法一：由已知得3sin2α＝cos2
3sin2α＝2sin2
①÷②得tanα＝
∵ α为锐角。
证法二：由已知可得：
3sin2α＝cos2β
3sin2α＝2sin2β
∴ cos(α＋2β)＝cosα·cos2β-sinα·sin2β
cosα·3sin2α-sinα·sin2α
3sin2αcosα-sinα·3sinαcosα＝0
又由α＋2β∈(0，)
证法三：由已知可得。
∴ sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β
sinα·3sin2α＋cosα·sin2α
3sinα(sin2α＋cos2α)＝3sinα
又由②，得3sinα·cosα＝sin2
①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1
∴ sinα＝，即sin(α＋2β)＝1
又0＜α＋2β＜，2β＝
评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(-，上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切．
2．在△abc中，sina是cos(b＋c)与cos(b-c)的等差中项，试求(1)tanb＋tanc的值．
(2)证明tanb＝(1＋tanc)·cot(45°＋c)
(1)解：△abc中，sina＝sin(b＋c)
∴ 2sin(b＋c)＝cos(b＋c)＋cos(b-c)
∴ 2sinbcosc＋2cosbsinc＝2cosbcosc
∵ cosbcosc≠0 ∴ tanb＋tanc＝1
(2)证明：又由上：tanb＝1-tanc
＝(1＋tanc)·
＝(1＋tanc)·tan(45°-c)
＝(1＋tanc)·cot(45°＋c)
3．求值：解：原式＝
＝tan60°＝
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