第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动教案。
课题：椭圆及其标准方程。
教材：人教版（必修）数学第二册(上)第八章第一节。
一、教学目标：
1．知识与技能目标：
1）掌握椭圆定义和标准方程。
2）能用椭圆的定**决一些简单的问题。
2．过程与方法目标：
1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法。
3．情感态度与价值观目标：
1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣。
2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.
3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义及其标准方程。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、教学过程。
一）认识椭圆，探求规律：
1．对椭圆的感性认识。通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实。
物和**，让学生从感性上认识椭圆。
2．通过动画设计，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规。
律”运动的轨迹。
点是线段ac上一动点，分别以为圆心，与为半径做圆，观察两圆交点的轨迹。
请同学们思考：
1） 在运动中，哪些量是不变的，哪些量是变化的？
2） 能不能把不变的量用数学表达式表达出来？
3） 点（椭圆上的点）是以怎样的规律进行运动的？
4） 用这个规律能不能画出一个椭圆？
二）动手实验，亲身体会。
用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征。
请两名同学上台画在黑板上。
在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。
三）归纳定义，完善定义
我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义（学生分组讨论）.
椭圆定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于=2c）的点的轨迹叫做椭圆。
在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“和”，“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征。
如：总结动画演示中两圆半径之和（常数）得到椭圆上点到两定点距离之和为常数。
通过课件分别演示当两定点间距离等于线段长度时的轨迹（为一条线段）和当两定点距离大于线段长度时的轨迹（不存在），由学生完善椭圆定义中常数的范围。
教师指出：两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
四）合理建系，推导方程。
由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程。
已知椭圆的焦距，椭圆上的动点到两定点，的距离之和为，求椭圆的方程。
1）以两个定点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设，点为椭圆上任意一点，则
称此式为几何条件），所以得 （实现集合条件代数化），化简，得
注：这是本节的难点所在，通过课堂精心设问来突破难点：①化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？
②对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？学生通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最后能得到圆满的结果。
2）以线段中点为坐标原点， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，所得椭圆方程为：
相比之下，其它的建系方式不够简洁。
同学们观察右图，当运动到线段ac中点时，两圆半径相等，即，因，则，不妨令，那么（1）（2）所得的椭圆方程可化为：
在这里教师指出：我们刚才只是从“曲线的方程”的角度推导出了符合定义的点的坐标满足的方程，我们还需要从“方程的曲线”的角度来说明以方程(1)(2)的解为坐标的点都在曲线（椭圆）上，这个问题留给学生课后完成。）
我们称（1）（2）为椭圆的标准方程。
对标准方程的理解：
1.所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；
2．在与这两个标准方程中，都有的要求，也就是说，焦点在哪个轴上，哪个对应的分式的分母就较大。
五）应用举例，小结升华。
例1.用定义判断下列动点的轨迹是否为椭圆。
1)平面内，到的距离之和为6的点的轨迹。（是）
2)平面内，到的距离之和为4的点的轨迹。（不是）
3)平面内，到的距离之和为3的点的轨迹。（不是）
例2.方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为：
例3.已知椭圆方程为，则两焦点坐标为：
小结： 由学生总结本节课所学习到的知识和思想方法。
1．知识总结：
椭圆的定义，标准方程
2．思想方法总结：
教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。
教案的设计说明：
数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的**式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。本节借助多**辅助手段，创设问题的情境，让**式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关。本节课从实例出发，设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究。
在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围。在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美。
在对教材中“令”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换。
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