第六讲计算——工具与算法的变迁。
研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．
初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有：
1．巧用运算律；
2．用字母代数；
3．分解相约；
4．裂项相消；
5．利用公式等．
例1】 现有四个有理数3，4，一6，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：
(浙江省杭州市中考题)
思路点拨从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．
注： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．
著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”．
有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在：
(1)有理数的计算每一步要确定符号；
（2）有理数计算常常是符号演算；
3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．
例2】 如果4个不同的正整数满足，那么，等于( )
a．10 b．2l c．24 d．26 e．28
(新加坡数学竞赛题)
思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式．
例3】 计算：
1)； 祖冲之杯”邀请赛试题)
(北京市竞赛题)
3)5+52+53+…十52002．
思路点拨对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．
【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是数；
(2)设，， 则的大小关系是 (用“>”号连接)；
(3)求证：32002+42002是5的倍数．
思路点拨乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③；与的奇偶性相同；⑤在中(，r为非负整数，，0≤r<4)，当r=0时，的个位数字与n4的个位数字相同；当时，?的个位数字与的个位数字相同．
注：在求和中错位相减、倒序相加是计算中常用的技巧．
例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：
1）证明：可以得到22；
2）证明；可以得到．
学力训练。1．（1）计算：211×（-455）+365×455-211×545+545×365
（2）若，，，则的大小关系是 （用“＜”号连接＝．2．计算：
3．在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号（不再添加括号），使得等式成立：
4．1999加上它的得到一个数，再加上所得的数的又得到一个数，再加上这次得数的又得到一个数，……依次类推，一直加到上一次得数的，那么最后得到的数是 ．
5．根据图所示的程序计算，若输入的x值为，则输出的结果为（ ）
a ． b． c． d．
(北京市海淀区中考题)
6．已知，，，则abc=（
a． 一1 b．3 c． 一3 d．1
“希望杯”邀请赛试题)
7．如果有理数满足关系aa．必为正数 b．必为负数 c．可正可负 d．可能为0
8．将，由大到小的排序是( )
a bc d (美国犹他州竞赛题)
9．阅读下列一段话，并解决后面的问题：
观察下面一列数：l，2，4，8，…，我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
1)等比数列5，一15，45，…的第4项是。
2)如果一列数是等比数列，且公比为，那么根据上述的规定，有，，，所以用与的代数式表示)．
3)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．
广西省中考题)
10．(1)已知都不等于零，且的最大值是，最小值为n，求的值．
(2)求证：5353一3333是10的倍数．
11．计算。
12．（1）所得积的末位数字是。
(江苏省竞赛题)
(2)若l3+23+33+…+153＝14400，则23+43+63+…+303
13．若是互不相等的整数()，且abcd＝121，则。
14．你能比较***与20022001的大小吗？
为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较nn+1与(n+1)n的大小(n是自然数)，然后，我们从分析n＝l，n=2，n＝3……中发现规律，经归纳，猜想得出结论。
1)通过计算，比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“>”号)．
2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是。
3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20012002 20022001．
江苏省常州市中考题)
15．如果，则的值为( )
a．一1 b．1 c．土1 d．不确定。
(2024年河北省竞赛题)
16．如果ac<0，那么下面的不等式，，，中必定成立的有( )
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
17．设，，则=(
a． b． c． d．
( “五羊杯”竞赛题)
18．10个互不相等的有理数，每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这10个有理数的和为( )
a． b． c． d．
(江苏省竞赛题)
19．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：，，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求的值．
(上海市竞赛题)
20．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1，a+b，a的形式，又可分别表示为0，，b的形式，求a2002+b2001的值．
21．(1)三个2，不用运算符号，写出尽可能大的数；
(2)三个4，不用运算符号，写出尽可能大的数；
(3)用相同的3个数字(1～9)，不用运算符号，写出最大的数．
22．如图，是一个计算装置示意图，是数据输入口，c是计算输出口，计算过程是由分别输入自然数m和n，经计算后得自然数k由c输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
(1)若分别输入l，则输出结果为1;
(2)若输入任何固定的自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；
(3)若输入l，输人自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．
试问：(1)若输入l，输入自然数n，输出结果为多少？
2)若输入l，输入自然数m，输出结果为多少？
3)若输入自然数m，输入自然数n，输出的结果为多少？
2024年扬州中学招生试题)
参***。
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