远辉教育2016秋季班数学学案。
主讲人：杨老师学生：七年级**：62379828
第二讲 ——有理数基础。
★★(i)考点突破★★★
考点1：有理数的认识及分类。
知识要点讲解】
一、正数、负数和零：
1. 概念：象等大于零的数叫正数；象-1、-2.5、、-48等小于零的数叫负数；0叫做零，0既不是正数也不是负数。
2. 负数的表示方法：数字前带一个负号。如：-1、-2.5等。
注意：正数，负数的“+”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号，负号不是减号。
不能简单的理解为：带“+”号的数是正数，带“-”的数是负数。例如：，当表示正数时，是负数；当表示负数时，是正数；当表示0时，仍是0，既不是正数也不是负数。
3. 负数的重要意义：
使数字系统得到扩充、-1、-2、-3等；
使表示起来更方便：
例1：温度比0℃低2度记为：-2℃
例2：山峰高于海面300叫海拔300，记为：+300，盆地低于海面50记为：-50；
使计算起来更容易：3-4=-1等。
4. 正数、负数与0：
0是表示正与负的分界，表示数值上既不是正也不是负，表示比任何正数小，比任何负数大。
正数：表示在数值上不等于0，且总比0大。
负数：表示在数值上不等于0，且总比0小。
例：a、b、c三个商店，a店在今年8月份赢利，b店在今年8月份亏损，c店在该月上正好不赢利也不亏本。则从利润上看：
＞0，＜0， =0 ；：正数，：负数，; 负数＜0＜正数。
非正数：负数和0
非负数：正数和0
二、有理数：
1. 有理数的概念：
从小数的角度看：
整数、有限小数（有限位小数）、无限循环小数叫有理数；而无限不循环小数叫无理数。如：，3.14159是有理数；是无理数。
从分数角度看：
整数和分数总称为有理数。
若和为整数（≠0），无理数不能表示为的形式；有理数总能表示为的形式。
2. 小数与分数的关系：
从有理数的概念可知：有限小数和无限循环小数总能化为分数形式，分数能化为有限小数或无限循环小数。
思考】什么样的分数能化为有限小数？
为什么分数总能化为有限小数或无限循环小数？
3. 有理数分类：
经典考题剖析】
例1】填空：
1. 用字母表示有理数时：1）＞0时，表示数，表示数；2）＜0时， 表示数，表示数；3）≥0时，a表示数。
2. 一个物体沿着东、西两个相反方向运动时，可以用正负数表示它的运动。
1）如果向东运动4米记作4米，那么相西运动应记作 。
2）如果-7米表示物体向西运动7米，那么6米表示。
3. 如果自行车车条的长度比标准长度长2记作：+2，那么比标准长度短3记作：
4. 一天中午12时的气温是7℃，傍晚5时的气温比中午12时下降了4℃，凌晨4时的气温比中午12时低8℃，傍晚5时的气温是 ，凌晨4时的气温是 。
5. 第一个冷库的温度是-6℃，第二个冷库的温度是-12冷库的温度高一些。
6. 一潜水艇所在的高度是-50米，一条鲨鱼在艇上方10米处，鲨鱼所在的高度是米。
7. 如果水库的水位上升5，记作+5，那么水位下降3，记作： ，上升-2表示。
8. 若不是负数，那么一定是 。
9. 有理数分为和或者和。
10. 最小的正整数是 ；最大的负整数是 ；既不是正数又不是负数的数是 。
例2】判断正误：
1. 0是最小的有理数。
2. 分数是有理数。
3. 大于负数的数是正数。
4. 有理数中不是正数就是负数。
5. 既没有最小的整数，也没有最大的整数。
例3】在下面有理数：-21，-3.11，，+2，，0，3.3，-0.732，1中：
正数有。负数有。
整数有。非负整数有。
例4】文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在。
例5】一小虫从点o处出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬过的各段路程依次为（单位：）：
1）小虫最后能否回到出发点o处？为什么？
2）小虫离开出发点o最远时的距离是多少？
3）爬行过程中，如果每爬1，奖励两粒芝麻，那么小虫共得了多少粒芝麻？
针对性训练】
1. 下列各数、-2，是正数的有是整数的有是负数的有是非整数的有。
2. 如果水位上升35米用+35表示，那么下降100米表示为水位无变化表示为。
3. 在–2，+3.5，0，，–0.7，11中．负分数有（ ）
a、l个 b、2个 c、3个 d、4个。
4. 甲潜水员所在高度为－45米，乙潜水员在甲的上方15米处，则乙潜水员的所在的高度是。
5. 一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为地下第一层记作数－2的实际意义为数＋9的实际意义。
6. 把下列各数分别填在题后相应的集合中：，0，，0.73，2，，，28。
1）正数集合。
2）负数集合。
3）整数集合。
4）分数集合。
5）正整数集合。
6）负整数集合。
7）正分数集合。
考点2:数轴。
知识要点讲解】
1. 数轴的概念。
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
注：（1）规定直线上向右的方向为正方向。
2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
3）数轴上的点与有理数的关系。
所有有理数都可以用数轴上的点来表示，0表示原点，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示。但反过来，不能说数轴上的所有点都表示有理数。
2. 相反数的概念。
几何定义：在数轴上，原点两旁离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；如图所示1和-1
代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数为0。
3. 利用数轴比较有理数的大小。
在数轴上表示的数，右边的数总是比左边大；
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
经典考题剖析】
例1】下列五个选项中，是数轴的是（ ）ab.c.
d.例2】如图，数轴上的点a、b、c、d分别表示什么数？
例3】画出数轴并标出表示下列各数的点，并用“〈”把下列各数连接起来．
例4】（1）的相反数是 ；一个数的相反数是，则这个数是 。
（2）分别写出下列a、b、c、d、e各点对应有理数的相反数。
例5】a、b为两个有理数，在数轴上的位置如图所示，把a、b、-a、-b、0按从小到大的顺序排列出来。
例6】已知a>b>0，比较a，-a，b，-b的大小。
例7】小明的家、学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，家在学校东面500米处，书店在学校西面200米处，小明从学校向东走了150米，又向东走了-350米，你能说出小明现在的位置吗？
针对性训练】
1. 下列各图中，是数轴的是（ ）
2. 下列说法中正确的是（ ）
a．正数和负数互为相反数 b．0是最小的整数。
c．在数轴上表示+4的点与表示-3的点之间相距1个单位长度。
d．所有有理数都可以用数轴上的点表示。
3. 数轴上表示-2.5与的点之间，表示整数的点的个数是（ ）
a．3 b．4 c．5 d．6
4. 若-x=8，则x的相反数在原点的___侧．
5. 把在数轴上表示-2的点移动3个单位长度后，所得到对应点的数是___
6. 数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的整数的个数为y，等于3的整数的个数为z，则x+y+z=__
7. 在数轴上距离数1是2个单位的点表示的数是___
8. 在数轴上描出大于-3而小于5的所有整数点．
9. a在数轴上表示，将点a沿数轴向右平移3个单位到点b，则点b所表示的数为。
a．3 b．2 c． d．2或。
10. 画出数轴，把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序，用“<”连接起来。
11. 小明的家（记为a）与他上学的学校（记为b），书店（记为c）依次座落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条街向东走40米，接着又向西走了70米到达d处，试用数轴表示上述a、、b、c、d位置。
★★(ii)一网打尽★★★
一、基础训练。
1. 在下图中，表示数轴的是（ ）
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