新人教版七年级数学：相交线与平行线培优训练(一)
平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质，为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．
一、知识要点：
1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。
3.垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：
1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做。
5．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线___
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么。
6．平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成。
7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线___
8．平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成。
⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单说成。
方法指导：平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。
二、例题精讲。
例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,2=(5x+22)°,求∠3的度数。
图(1)例2．已知：如图(2)， ab∥ef∥cd，eg平分∠bef，∠b+∠bed+∠d =192°，b-∠d=24°，求∠gef的度数。
图(2)图（2）
例3．如图（3），已知ab∥cd，且∠b=40°，∠d=70°，求∠deb的度数。
图（3）例4．已知锐角三角形abc的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，求证：ha+hb+hc＜a+b+c
图（4）例5．如图（4），直线ab与cd相交于o，efab于f，ghcd于h，求证ef与gh必相交。
例6．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
图（6）例9．平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于。
图(7)例10．（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。
b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。
图（8）三、巩固练习。
1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（ ）条。
a．6 b． 7 c．8 d．9
2．平面上三条直线相互间的交点个数是 （
a．3 b．1或3 c．1或2或3 d．不一定是1，2，3
3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（ ）
a．36条 b．33条 c．24条 d．21条。
4．已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（ ）
（a）9 （b）10 （c）11 （d）12
5．若平行直线ab、cd与相交直线ef、gh相交成如图示的图形，则共得同旁内角（ ）
a．4对 b．8对 c．12对 d．16对。
6．如图，已知fd∥be，则∠1+∠2-∠3
a．90° b．135° c．150° d．180°
第7题 7．如图，已知ab∥cd，∠1=∠2，则∠e与∠f的大小关系。
8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还。
有交点。9．平面上3条直线最多可分平面为个部分。
10．如图，已知ab∥cd∥ef，psgh于p，∠frg=110°，则∠psq＝ 。
11．已知a、b是直线l外的两点，则线段ab的垂直平分线与直线的交点个数是 。
12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。
13．已知：如图，de∥cb ，求证：∠aed=∠a+∠b
14．已知：如图，ab∥cd，求证：∠b+∠d+∠f=∠e+∠g
15．如图，已知cbab，ce平分∠bcd，de平分∠cda，edc+∠ecd =90°，求证：daab
七年级数学竞赛讲座平行线与相交线问题（二）
一、例题精讲。
例1 ：如图 1－18，直线a∥b，直线 ab交 a与 b于 a，b，ca平分∠1，cb平分∠ 2，求证：∠c=90°
例2： 如图1－21所示，aa1∥ba2求∠a1-∠b1+∠a2．
(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．
问题1： 如图1－24所示．∠a1+∠a2=∠b1，问aa1与ba2是否平行？
问题2： 如图1－25所示．若。
a1+∠a2+…+an=∠b1+∠b2+…+bn-1，问aa1与ban是否平行？
这两个问题请同学加以思考．
例3： 如图1－26所示．ae∥bd，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠c．
例4： 求证：三角形内角之和等于180°．
例5： 求证：四边形内角和等于360°．
发散思维：人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，n边形内角和=(n-2)×180°．
这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．
(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．
例6： 如图1－29所示．直线l的同侧有三点a，b，c，且ab∥l，bc∥l．求证： a，b，c三点在同一条直线上．
发散思维： 若将问题加以推广：在l的同侧有n个点a1，a2，…，an-1，an，且有aiai+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？
例7： 如图1－30所示．∠1=∠2，∠d=90°，ef⊥cd． 求证：∠3=∠b．
巩固练习： 1．如图1－31所示．已知ab∥cd，∠b=100°，ef平分∠bec，eg⊥ef．求∠beg和∠deg．
2．如图1－32所示．cd是∠acb的平分线，∠acb=40°，∠b=70°，de∥bc．求∠edc和∠bdc的度数．
3．如图1－33所示．ab∥cd，∠bae=30°，∠dce=60°，ef，eg三等分∠aec．问：ef与eg中有没有与ab平行的直线，为什么？
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