七年级奥数讲义01：和绝对值有关的问题。
一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）
1．已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（ ）a．-3a b．2c-a c．2a-2b d．b
2．已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）
a．是正数 b．是负数 c．是零 d．不能确定符号。
3．方程|x-2008|=2008-x的解的个数是（ ）
a．1个 b．2个 c．3个 d．无穷多个。
二、填空题（共1小题，每小题5分，满分25分）
4．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3．
并回答下列各题：
1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ；
2）若数轴上的点a表示的数为x，点b表示的数为-1，则a与b两点间的距离可以表示为。
3）结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 ；
4）满足|x+1|+|x+4|＞3的x的取值范围为。
三、解答题（共2小题，满分13分）
5．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
6．如果|ab-2|+=0，试求：
的值．七年级奥数讲义01：和绝对值有关的问题解析。
一、选择题（共3小题，每小题4分，满分12分）
1．已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（ ）a．-3a b．2c-a c．2a-2b d．b
考点：绝对值．专题：计算题．分析：由a，b，c在数轴上的对应位置可知：b＜a＜0＜c，即可判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简．
解答：解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a
故选a．点评：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算．脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号．这道例题运用了数形结合的数学思想．
2．已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ）
a．是正数 b．是负数 c．是零 d．不能确定符号。
考点：绝对值；数轴．专题：数形结合．分析：
先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小，再画出数轴确定出各点在数轴上的位置，根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值，使原式得到化简．
解答：解：由题意可知，x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0
点评：本题考查的是代数式的化简及绝对值的性质，此题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路．在解答此类问题时要注意使用数形结合的思想方法．
3．方程|x-2008|=2008-x的解的个数是（ ）
a．1个 b．2个 c．3个 d．无穷多个。
考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：
这道题我们用整体的思想解决．将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程|a|=-a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为d．解答：解：由方程|x-2008|=2008-x可知，2008-x≥0
x≤2008
x解得个数有无穷多个．
故选d点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的拓展计算，充分利用了绝对值的代数意义．难易适中．
二、填空题（共1小题，每小题5分，满分25分）
4．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3．
并回答下列各题：
1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ；
2）若数轴上的点a表示的数为x，点b表示的数为-1，则a与b两点间的距离可以表示为。
3）结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 ；
4）满足|x+1|+|x+4|＞3的x的取值范围为。
考点：绝对值；数轴．分析：（1）直接借助数轴可以得出；
2）点b表示的数为-1，所以我们可以在数轴上找到点b所在的位置．那么点a呢？因为x可以表示任意有理数，所以点a可以位于数轴上的任意位置．那么，如何求出a与b两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1．
综上，我们得到a与b两点间的距离可以表示为|x+1|；
3）|x-2|即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离．|x+3|=|x-（-3）|即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离． 借助数轴，我们可以得到正确答案；
4）同理|x+1|表示数轴上x与-1之间的距离，|x+4|表示数轴上x与-4之间的距离．本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3．借助数轴，我们可以得到正确答案：x＜-4或x＞-1．
解答：解：（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；
2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．
当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到a与b两点间的距离可以表示为|x+1|；
3）当x＜-3时，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此时最小值大于5；
当-3≤x≤2时，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；当x＞2时，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此时最小值大于5；
所以|x-2|+|x+3|的最小值为5，取得最小值时x的取值范围为-3≤x≤2；
4）由分析借助数轴，我们可以得到正确答案：x＜-4或x＞-1．
点评：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|a-b|表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离．这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题．
三、解答题（共2小题，满分13分）
5．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
考点：数轴．专题：分类讨论．
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负．那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题．
解答：解：设甲数为x，乙数为y
由题意得：|x|=3|y|，1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x在原点左侧，y在原点右侧，即x＜0，y＞0，则4y=8，所以y=2，x=-6，若x在原点右侧，y在原点左侧，即x＞0，y＜0，则-4y=8，所以y=-2，x=6；
2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x、y在原点左侧，即x＜0，y＜0，则-2y=8，所以y=-4，x=-12，若x、y在原点右侧，即x＞0，y＞0，则2y=8，所以y=4，x=12．
点评：本题主要考查了数轴上点的几何意义．
6．如果|ab-2|+（b-1）2=0，试求：
的值．考点：非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．专题：规律型．
分析：本题应先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”解出a、b的值，再把a、b的值代入代数式中，将分式化简求值．
解答：解：因为|ab-2|+=0，且|ab-2|≥0，≥0，所以ab-2=0，b-1=0，所以b=1，a=2，所以原式=
点评：注意：将原有的分数拆成两个相减的分数，再对方程进行化简是此类分数的常见的解法．
七年级奥数特训练习01：和绝对值有关的问题。
1．关于x的方程|x|=2x+a只有一个解而且这个解是负数，则a的取值范围（ ）
a．a＜0 b．a＞0 c．a≥0 d．a≤0
2．若方程||x-2|-1|=a有三个整数解，则a的取值为（ ）
a．a＞1 b．a=1 c．a=0 d．0＜a＜1
3．（1）阅读下列材料并填空．
例：解方程|x+2|+|x+3|=5
解：①当x＜-3时，x+2＜0，x+3＜0，所以|x+2|=-x-2，|x+3|=-x-3
所以原方程可化为5
解得 x当-3≤x＜-2时，x+2＜0，x+3≥0，所以|x+2|=-x-2，|x+3|=x+3
所以原方程可化为-x-2+x+3=5
所以此时原方程无解。
当x≥-2时，x+2≥0，x+3＞0，所以|x+2x+3
所以原方程可化为5
解得 x2）用上面的解题方法解方程：
x+1|-|x-2|=x-6．
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程为3x=1，它的解是x=
当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程为-3x=1，它的解是x=．
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