七年级奥数试题

【网络综合 - 初中奥数试题】

一、选择题（每题1分，共5分）

以下每个题目里给出的a，b，c，d四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．

1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( a )

a．a%． b．(1+a)%．c. d.

2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里，0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( a )

a．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．

b．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．

c．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．

d．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．

3.已知数x=100,则( a )

a．x是完全平方数．b．(x－50)是完全平方数．

c．(x－25)是完全平方数．d．(x+50)是完全平方数．

4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点a，b，c对应的数，则的大小关系是( c )

a. ;b.

5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )

a．2组．b．6组．c．12组．d．16组．

二、填空题（每题1分，共5分）

1．方程|1990x－1990|=1990的根是___

2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是___

3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开___次．

4．当m=__时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．

5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）_某个自然数的平方．

三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）

1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？

2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是a，b，c，d，直线m通过a，b，直线n通过c，d，用s表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(s－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积s1，s2，s3满足关系式s3= s1= s2,求s．

3.求方程的正整数解。

初中数学竞赛辅导。

2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值．

3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围．

4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x1＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值．

6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6．

8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2．

10．x，y，z均是非负实数，且满足： x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4，求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值．

11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式．

13．如图1－89所示．aob是一条直线，oc，oe分别是∠aod和∠dob的平分线，∠cod=55°．求∠doe的补角．

14．如图1－90所示．be平分∠abc，∠cbf=∠cfb=55°，∠edf=70°．求证：bc‖ae．

15．如图1－91所示．在△abc中，ef⊥ab，cd⊥ab，∠cdg=∠bef．求证：∠agd=∠acb．

17．如图1－93所示．在△abc中，e为ac c的中点，d在bc上，且bd∶dc=1∶2，ad与be交于f．求△bdf与四边形fdce的面积之比．

18．如图1－94所示．四边形abcd两组对边延长相交于k及l，对角线ac‖kl，bd延长线交kl于f．求证：kf=fl．

19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由．

20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？

23．房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？

24．求不定方程49x-56y+14z=35的整数解．

25．男、女各8人跳集体舞．

1)如果男女分站两列；

2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴．问各有多少种不同情况？

26．由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？

27．甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度．

28．甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成．若甲单独完成比乙单独完成全部任务快3天．求甲乙单独完成各用多少天？

29．一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度．16

30．某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15％完成计划，乙车间超额10％完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多少万元？

31．已知甲乙两种商品的原价之和为150元．因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价20％，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1％，求甲乙两种商品原单价各是多少？

32．小红去年暑假在商店买了2把儿童牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完．已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把涨到1.68元，牙膏每支涨价30％，小红只好买2把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱．试问去年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？

33．某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？

34．从a镇到b镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用0．4千米/分钟的速度，从a镇出发驶向b镇，25分钟以后，乙骑自行车，用0．6千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？

35．现有三种合金：第一种含铜60％，含锰40％；第二种含锰10％，含镍90％；第三种含铜20％，含锰50％，含镍30％．现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45％的新合金，重量为1千克．

1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；

2)求新合金中含第二种合金的重量范围；

3)求新合金中含锰的重量范围．

=-a，所以a≤0，又因为｜ab｜=ab，所以b≤0，因为｜c｜=c，所以c≥0．所以a＋b≤0，c-b≥0，a-c≤0．所以

原式=-b＋(a＋b)-(c-b)-(a-c)=b．

3．因为m＜0，n＞0，所以｜m｜=-m，｜n｜=n．所以｜m｜＜｜n｜可变为m＋n＞0．当x+m≥0时，｜x+m｜=x＋m；当x-n≤0时，｜x-n｜=n-x．故当-m≤x≤n时，

x＋m｜＋｜x-n｜=x＋m-x＋n=m＋n．

4．分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得

a0+a2＋a4＋a6=-8128．

10．由已知可解出y和z

因为y，z为非负实数，所以有。

u=3x-2y+4z

11. 所以商式为x2-3x+3，余式为2x-4

12．小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图1－97所示)．

我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)．设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲′；乙村关于南山坡的对称点是乙′，连接甲′乙′，设甲′乙′所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是a，b，则从甲→a→b→乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短）

显然，路线甲→a→b→乙的长度恰好等于线段甲′乙′的长度．而从甲村到乙村的其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲′与乙′之间的折线．它们的长度都大于线段甲′乙′．所以，从甲→a→b→乙的路程最短．

13．如图1－98所示．因为oc，oe分别是∠aod，∠dob的角平分线，又 ∠aod+∠dob=∠aob=180°，所以 ∠coe=90°．

因为 ∠cod=55°，所以∠doe=90°-55°=35°．

因此，∠doe的补角为 180°-35°＝145°．

14．如图1－99所示．因为be平分∠abc，所以

cbf=∠abf，

又因为 ∠cbf=∠cfb，所以 ∠abf=∠cfb．

从而 ab‖cd(内错角相等，两直线平行)．

由∠cbf=55°及be平分∠abc，所以 ∠abc=2×55°=110°．

由上证知ab‖cd，所以 ∠edf=∠a=70°，

由①，②知 bc‖ae(同侧内角互补，两直线平行)．

15．如图1-100所示．ef⊥ab，cd⊥ab，所以 ∠efb=∠cdb=90°，

所以ef‖cd(同位角相等，两直线平行)．所以 ∠bef=∠bcd(两直线平行，同位角相等)．

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