第二章实数。
一、有理数。
定义：能够表示成分数的形式的数，称为有理数。 （其中均为整数，且）
性质：1）顺序性：即对于任意两个有理数，在，，三种关系中，有且只有一种关系是成立的。
2）封闭性：即任意两个有理数的和，差，积，商（除数不为0）仍然为有理数。
3）稠密性：任意两个有理数之间，仍然存在着一个有理数。
4）有理数可以写成有限小数或无限循环小数的形式，形式上可以与分数互化。
常用的有理数的运算方法与技巧：
1、凑成整数法。 将一些数凑成整。
一、整十等数。
2、裂项相消法。 将一些数列为分数差，然后相消。
如：,，等。
3、以符代数法。 将一些数记作某个字母，达到化繁为简的目的。
4、巧用公式法。 将一些数的运算利用乘法公式等。
如： ，等。
5、利用运算率。 将一些数改变运算顺序，使某些计算简便。
例1、设都是有理数，且满足，则。
例2、设是一个无理数，且满足，则是一个( )
a．小于0的有理数 b.大于0的有理数 c.小于0的无理数 d.大于0的无理数。
二、相反数与倒数的概念。
1），则与互为相反数。 相反数等于本身的只有0.
2），则与互为倒数倒数等于本身的有±1.
相反数，倒数都是指两个数之间的关系。
三、数轴。规定了原点、正方向、单位长度的直线——数轴。
数轴上的点和全体实数是一一对应的，且右边的点对应的数总比左边的点对应的数大（正方向向右）.
数轴可用来化简代数式，比较有理数的大小，求解含有绝对值的方程、不等式及函数等数学问题。
四、绝对值。
定义：在数轴上，表示一个数的点与原点之间的距离就叫做数的绝对值。
一个数的绝对值越大，则这个数表示的点到原点的距离就越大。
一般地，表示所对应的点与所对应的点之间的距离。
性质：1），由于绝对值表示的是距离，所以任何实数的绝对值都是非负数。
23）若，则相等或互为相反数。
例3、求的最小值。
例4、已知函数，其中为常数，且，当自变量的取值范围为时，求的最大值。
五、平方根与立方根。
平方根：如果，那么叫做的平方根（二次方根）.记作。其中。
叫做的算术平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根是零，负数。
没有平方根。求一个数的平方根的运算叫做开平方。
立方根：如果，那么叫做的立方根（三次方根）.记作。
正数有一个正的立方根，零的立方根是零，负数有一个负的立方根。性质：
算术平方根的性质：（1）算术平方根与被开方数均为非负数（即非负性）；
即。2）任何非负数都有惟一的算术根（存在性与惟一性）.
六、非负数。
非负数：正数或零． 非负整数：即自然数．
常见的非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，
实数的算术根． （其中）
性质：１）最小的非负数为０，没有最大的非负数；
２）有限个非负数的和仍然为非负数；
３）若干个非负数的和为０，则每个非负数都等于０．
例：如果，则．
例5、设分别表示的整数部分和小数部分，求的值。
例6、已知，则的大小关系是。
例7、的值是（ ）
例8、一个数的两个平方根是和，求这个数。
跟踪练习：14的算术平方根是 。
2、写出一个有理数和无理数，使它们都是大于的负数。
3、如图，数轴上表示数的点是。
4、一个自然数的算术平方根是，则它下一个自然数的算术平方根是___
5、已知x、y是实数， ,若，则。
6、一个数的平方根是和，那么这个数是。
7、方程+=0的解是。
5、观察思考下列计算过程：∵ 11=121，∴ 11；同样：
111=12321，∴ 111；…由此猜想。
8、如图，数轴上表示1、的对应点分别为a、b,点b关于点a的对称点为c,则c所表示的数是（ ）
a、-1；b、1-； c、2-；d、-2。
9、已知x是实数，则++的值是。
a、1-；b、1+；c、-1；d、无法确定。
10、代数式++的最小值是。
a、 0；b、1+；c、1；d、不存在。
11、设x、y都是有理数，且满足方程（+）x+（+y-4-=0，求x-y的值。
12、计算。
13、已知实数满足，如果，求的值。
14、已知，则的最小值是多少？
15、已知，且，求的值。
16、计算：.
17、已知，试求的值。
18、设，求与最接近的整数。
19、求的最小值。
20、若，求的值。
21、有理数均不为0,且，设，试求的值。
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