有理数。
一、有理数的基本概念。
考点1．负数。
例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m记做 ，向西行驶20m记做 ，原地不动记做5m表示向行驶5m，+16m表示向行驶16m例2：收入—2000元，表示 。
考点2．有理数。
例1：，负数有个，正数有个，整数有个，正分数有个，非负整数有个。
例2：下列说法正确的是：（
一个数，如果不是正数，必定就是负数⑵正有理数是正整数和正分数的统称。
2 一个有理数不是分数就是正数。 （3）整数不是奇数就是偶数。
3 0是最小的有理数。⑹ 3.1415926 不是分数⑺ 正整数和负整数统称为整数。⑻ 奇数是正数。
有理数包括整数和分数 ⑽ 0.6是分数 ⑾ 0不是正数也不是负数。
⑿ 0是自然数，不是整数。 ⒀没有最小的有理数。
考点3．数轴。
例1：写出数轴上a,b,c,d,e各点表示的数，并用“>”号连接起来。
例2：写出大于—4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。
例3：若数轴上的点a向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来a点对应的数是 。
例4（2010 河北）如图，矩形abcd的顶点a，b在数轴上， cd=6，点a对应的数为，则点b所对应的数为 ．
4．相反数。
例1：下列说法正确的是( )
a 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。b 符号相反的两个数互为相反数。
c 互为相反数的两个数可能相等。d 一个数的相反数不可能大于它本身。
例2：（1）0.1与a互为相反数，那么a2）a-1的相反数是 。（3）若-x的相反数是-7.5，则x4）如果m的相反数是最大的负整数，n的相反数是-2，那么m+n= 。
例3：-[3.58
例4如图，若a是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ）
a．a＜1＜－ab．a＜－a＜1
c．1＜－a＜ad．－a＜a＜1
5．绝对值。
例1：若|a|=2，则a例2：到原点5个单位长度的点是。
例3：若|m|=-m,则m是 。若|m|=m,则m是 。例4：若|x+2|+|y-3|=0，则xy= 。
例5：若|a|=4,|b|=3,且a考点6：倒数。
例1． 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且c＝–l，求的值．
例2：下列说法正确的是 。
只有1的倒数等于它的本身。②－3.5的倒数是3.
5。③零没有倒数。④0.
1的倒数是10。⑤任何一个有理数a的倒数都等于。⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。
考点7．有理数大小比较原则。
例1：实数a,b在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b的大小关系。
例2：因为 ，所以， 例3：若x二、有理数的运算考点1．有理数的加法。
例1：下列说法正确的是。
若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。③两个有理数的和可能为0。
④两个有理数的和可能等于其中一个加数。⑤若a与-2互为相反数，则a+(-2)=0。
例2：如果|x|=2,|y|=3, 则①x,y同号，x+y= ②x,y异号，x+y例3：绝对值不大于-4.3的所有整数的和。
例4：用简便方法计算：
2．有理数的减法。
例1：下列说法正确的是。
在有理数的减法中，被减数不一定比减数或差大。②两个相反数相减得零。③零减去一个数，仍得这个数。④负数减去正数，差为负数。⑤较小的数减去较大的数，所得的差一定为负。
例2：①a、b两点间的距离是多少？②a、c两点间的距离是多少？③**两点间的距离与表示这两点的数有什么关系？
考点3．有理数的加减混合运算。
1）步骤：现将式子写成代数和的形式，再按加法法则进行计算，适当的应用加法运算律。
2）代数和的读法：①按照运算符号来读，②按照性质符号来读；例如：把-8+（+10）+（6）+（4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。
读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。
例1：-7，-12，+2的代数和比他们的绝对值的和小。
例2：某校购回面粉10袋，每袋50千克，入库时又重新称量，结果如下，（超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）。+0.
8，-0.5，+1.1,0,-0.
3,+0.4,-1.2,-0.
7,+0.6。问：
①该校共买进面粉多少千克？②平均每袋面粉重多少？③平均每袋面粉比标准量多还是少？
考点4．有理数的乘法。
例1：如果|a|=2,|b|=3,且ab<0,求3a+2b的值。
例2：下列说法正确的是。
一个数与1的积等于它本身。②一个数与-1的积是它的相反数。③如果ab=0，则一定有a=b=0。④一个有理数和它相反数的积一定为负。⑤积比每个因数都大。
例3：在-2,3，-4,5中任取两个数相乘，所得的积最大是。
例4：（10-11）×（11-12）×（12-13）×…99-100）=
例5：如果三个数的积为负数，则这几个数中有个负因数。
例6：（-7）×（2）+（12）×（7）-（3）×（7）=
例7：若a,b异号，那么|1-ab
例8： 5．有理数的除法。
例1例2：体育课上，全班男同学进行百米测验，达标成绩为15秒，下面是第一组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒。-0.
8.，+1.0，-1.
2，-0.7，+0.5，-0.
5，+0.1。①这个小组的男生达标率是多少？
②这个小组的平均成绩是多少秒？
例3有理数、在数轴上的位置如图所示，则的值（ ）
a．大于0 b．小于0 c．小于 d．大于。
例4．在数轴上表示a、 b、 c三个数的点的位置如图所示，化简式子：|a－ b|+|a－ c|－|c－ b|.
c0 a b
例⒌如图，数轴上a、b两点对应的实数分别为，b， 则下列结论不正确的是（ ）
a． b． c． d．||b|>0
考点6．有理数的乘方。
例1：在中，指数是 ，底数是 ，幂是 。 在－中，指数是 ，底数是 ，幂是 。
例2例3：若。
例4．（－125）2005×８2005+（－1）2004+（－1）2003的值是（ ）
考点７．有理数的混合运算。
例。考点８．科学记数法。
1）定义：一个大于10的数记成的形式。其中n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。
2）10的指数n确定方法：①等于原数的整数位数减1；②等于小数点向右移动的位数。
3）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。
例1：把下列各数用科学记数法表示4879.5369000000=
例2：下面是用科学记数法表示的数，则原来的数是什么？
例3：25.8万用科学记数法表示。
三、近似数和有效数字。
例1：按要求对下列各题去近似值。
0.005308 （保留三个有效数字） ②0.49996 （精确到0.
001）③120000 （保留2个有效数字） ④保留3个有效数字）⑤738600000（精确到百万位 ⑥ 精确到百位） ⑦78.98万（精确到万位）
整式。单项式：
通过特征的描述，概括单项式的概念：单项式即由数字和字母的。
乘积组成的代数式称为单项式。补充，单独一个数字或一个。
字母也是单项式，如a，5。
练习：判断下列各代数式哪些是单项式？
1)； 2)abc； (3)b2； (4)－5ab2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5。
单项式的系数：单项式中的数字因数。如：2xy的系数是2；-5zy 的系数是-5
2．下列各式是否是单项式。如不是说明理由；如是，请指出它的系数和次数。x＋1r2； －a2b。－32x2y3的次数是7； πr2h的系数是。
多项式：例1：判断：
多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12；②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。
注意：第(1)题中第。
二、四项应为－a2b、－b3 多项式的次数为最高次项的次数。
例2：指出下列多项式的项和次数：
1)3x－1＋3x22)4x3＋2x－2y2。
例3 已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件。
例4：把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列。
整式的加减。
例1： k取何值时，3xky与－x2y是同类项？例2：若2amb2m+3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式，则m与 n的值分别是___
例3：合并下列多项式中的同类项：
1 2a2b－3a2b＋0.5a2b； ②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；
5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4。
七年级数学讲义 七
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