同学们已经有了六年学习数学的经验，你认为数学是个什么样子的呢？
为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”？
数学有非常广泛的用途，数学的内涵极其丰富，“生活中处处都有数学”，你同意这种观点吗？
请同学们来讨论下面的几个问题：
（1）几个老人去赶集，半路买了一堆梨，每人一个多一个，每人两个少两个，请你用心想一想究竟有几个老人几个梨？
（2）你能将两个同样大小的正方形适当地分割，再拼成一个较大的正方形么？你还能将三个同样大小的正方形适当分割后，再将其拼成一个较大正方形么？
3）有这样一个故事：太平洋中有a、b两个靠得较近的小岛．a岛居民都是诚实的人，向他们问问题都能得到真实的答案；而b岛的居民则恰恰相反，都不诚实，向他们问问题都不会得到真话回答．某天一个旅游者独自登上了a、b两岛中的一个，但不能分辨这个岛是a岛还是b岛，而且这个岛上的人既有该岛的居民，也有从另一个岛来的客人．旅游者想问岛上的人“这是a岛还是b岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确．旅游者动了动脑筋，想了想，终于想出一个好办法：
他只需问遇到的任何一个人一句话，就能从对方的回答中断定这里是a岛还是b岛．
你知道这个旅游者问的问题是什么吗？他又是怎样做出判断的呢？
数学所包括的内容是丰富多彩的，既有关于数的问题，如第（1）题；也有关于图形的问题，如第（2）题；也有关于逻辑推理的问题，如第（3）题，等等．
此外，数学的运用也是非常广泛的．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”
下面我们来尝试解答以上三个问题。
第（1）题可能有下面几种不同的解法，如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法，则需要老师灵活处理．
法一：由于梨的总数与人数不变，而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个，而每人所分得的梨的个数相差1个，因此由3÷1=3可知有3个老人，于是由3×2－2=4可知有4个梨．
法二：假设有2个老人，借助检验可以发现与实际情形不相符；假设有3个老人，借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的，于是可以在此基础上求得一共有4个梨．
法三：假设有x个老人，则有（x+1）个梨；而每人分2个梨，于是一共有（2x－2）个梨．从而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x = 3．因此，我们知道一共有3个老人，4个梨．
按照假设法解答这个问题，答案正确是予肯定的．但假设法并不能说明除此解之外，就一定没有其他符合这个问题的解了．因此，还需要做更深入的继续思考．
假设法虽然有一定的局限性，但是也有其合理性，当你还不能全面把握这个问题之前，试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性，有助于我们更深刻地揭示问题的本质，进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法，因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的，而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一．
设未知数列方程来解答数学问题，也是一种很好的解决数学的途径之一，而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法，在七年级第一学期将要重要学习，需要同学们引起足够的重视．
对于第（2）个问题，我们可以通过动手操作来解决问题。
比如先可以将三个正方形中的两个沿对角线剪开，如图1，然后再拼成图2的形状．再在图2的基础上，连结ab、bc、cd、da，将画阴影的四个三角形剪掉，补到黑色部分上去，如图3，这样所得到的四边形abcd就是一个符合条件的较大的正方形了．
这个问题的求解过程，作为图形的拼合时用到了旋转的方法；若要证明最后拼合而成的四边形是一个正方形的话，则需要用到全等或者图形的旋转等．不论是旋转变换，还是全等等方法都是初中数学所不可回避的重要内容．
第（3）题是一道逻辑推理题，可以先把学生分成小组让他们讨论几分钟，让他们相互交流一下思想，然后再找学生来谈自己的想法或推导过程，教师再在此基础上综合学生的发言，进行适当的补充或深化．
我们在下表中列出了在不同的地点，不同的被访问者，针对同一问题的不同回答．
借助这张表我们可以一目了然地得到这样的一个结论：如果这个问题是在a岛提出来的，那么不论是a岛的居民，还是b岛的居民，给出的答案都应该是“是”；如果这个问题在b岛提出来的，答案总“不是”．
这就为旅游者判断提问的地方是哪个岛提供了依据，于是“问路问题”就得到了解决．聪明的旅游者的问话是“你是这个岛的居民吗？”如果对方回答“是”，那么这个岛一定是a岛；如果对方回答“不是”，那么这个岛就一定是b岛．
学习数学是件很有趣的事情，数学可以让我们变得聪明，“数学是思维的体操”，只要我们多与数学打交道，与数学交朋友，坚持用数学的眼光去看问题，用数学的头脑去想问题我们就一定能感受到数学的魅力与乐趣，就一定能够学好数学，成为主宰世界未来的科学家。
拓展练习 1）如图4，要在所有的台阶上铺上地毯，至少需要长为多少米地毯？
2）用火柴棒拼成图5所示的“田”字形图，拼1个“田”字要12根火柴棒，拼2个这样的田字形图，需要多少根火柴棒？拼3个呢？4个呢？
5个呢？你能从中找到规律，拼写n个这样的田字形图，需要多少根火柴棒吗？
3）扑克牌游戏：在扑克牌1~k中，请你任抽一张，点数记在心，然后做下面的计算：把这张牌的点数乘以2，再加上3，把得数乘以5，最后减去25．我将这个得数加上10后再除以10就可以知道你抽取的牌的点数了，你知道个中的缘由吗？
第一章有理数。
正数负数(1)
一、学前准备。
1、小学里学过哪些数请写出来。
2、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0小的数？如果有，那叫做什么数？
二、**新知。
1、正数与负数的产生
1）、生活中具有相反意义的量。
如：运进5吨与运出3吨；上升7米与下降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到的具有相反意义的量。
请你也举一个具有相反意义量的例子。
2）负数的产生同样是生活和生产的需要。
2、正数和负数的表示方法。
1）一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”读作正）号，如前面的；负的量用小学学过的数前面放上“—”读作负）号来表示，如上面的—3、—8、—47。
2）活动两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示。
3、正数、负数的概念。
1）大于0的数叫做 ，小于0的数叫做。
2）正数是大于0的数，负数是的数，0既不是正数也不是负数。
三、练习。1、读出下列各数，指出其中哪些是正数，哪些是负数？
2， 0.6， +0， —3.1415， 200， —754200，2、举出几对（至少两对）具有相反意义的量，并分别用正、负数表示
四、应用迁移，巩固提高（a组为必做题）
a组。1．任意写出5个正数任意写出5个负数。
2．小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作___4万元表示。
3．已知下列各数：，，3.14，+3065，0，-239．
则正数有负数有。
4．如果向东为正，那么 -50m表示的意义是。
a．向东行进50mc．向北行进50m
b．向南行进50md．向西行进50m
5．下列结论中正确的是。
a．0既是正数，又是负数b．o是最小的正数。
c．0是最大的负数d．0既不是正数，也不是负数。
6．给出下列各数：-3，0，+5，，+3.1，，2004，+2008．
其中是负数的有。
a．2个b．3个c．4个d．5个。
b组。1．零下15℃，表示为比o℃低4℃的温度是。
2．地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处为___地，最低处为___地．
3．“甲比乙大-3岁”表示的意义是。
c组。1．写出比o小4的数，比4小2的数，比-4小2的数．
2．如果海平面的高度为0米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度．
正数负数(2)
一、学前准备。
通过上节课的学习，我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量，为了区分它们，我们用正数和负数来分别表示它们。
问题1：“零”为什么即不是正数也不是负数呢？
思考讨论，借助举例说明。参考例子：温度表示中的零上，零下和零度。
二。**理解解决问题。
问题2：先分析，再独立完成。
例 (1)一个月内，小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；
2)2023年下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是：
美国减少6.4%, 德国增长1.3%, 法国减少2.4%, 英国减少3.5%,意大利增长0.2%, 中国增长7.5%.
写出这些国家2023年商品进出口总额的增长率。
三、巩固练习。
从0表示一个也没有，是正数和负数的分界。
用正负数表示加工允许误差。
问题：1.直径为30.032mm和直径为29.97的零件是否合格。
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