第一讲：枚举法（分类、树形图）
一、内容概述。
1、枚举就是将要求计数的物体一一列举出来再进行总数的统计的方法。
枚举无疑是最原始、最简单的计数方法，但是它同时也是计数最可靠的方法，也是发现规律、找到技巧的最佳方法。
2、计数的关键在于既不重复、也不遗漏，枚举法也不例外。要做到这一点，关键是要在确定列举范围以后先按照一定的标准分类，再按一定的顺序进行列举。运用树形图帮助按顺序列举是解决这一问题的常用技巧。
3、借用树形图列举是解决过程的方法，不是最终目的。因此，如果能够在列举过程中及时发现规律并加以应用和推广，将更有利于问题的尽快、尽简解决。
二、枚举法的运用。
1、分类枚举。
例1 分子小于6而分母小于60的最简真分数共有多少个？
解：最简真分数的条件（1）分子比分母小，（2）分子与分母互质。
根据分类的原则，分的类别应该尽可能少，所以这里按分子进行分类枚举比较合理。
当分子为1，有，，，共计59-2+1=58（个）；
当分子为2，有，，，去掉可约分数共（个）；
当分子为3，有，，，去掉可约分数共（个）；
当分子为4，有，，，去掉可约分数共（个）；
当分子为5，有，，，去掉可约分数共（个）；
用加法原理可得，共有最简真分数：58+29+38+28+44=197（个）
例2 一个长方形被一条直线分为2个部分，那么8条直线最多可以将长方形分为多少个部分？如果是2002条呢？
解：枚举观察，1条直线最多可以将长方形分为：1+1=2（个）部分；
2条直线最多可以将长方形分为：1+1+2=4（个）部分；
3条直线最多可以将长方形分为：1+1+2+3=7（个）部分；
所以，8条直线最多可以将长方形分为：1+1+2+3+4+5+6+7+8=37（个）部分。
2002条直线最多可以将长方形分为：1+1+2+3+……2000+2001+2002=2005004（个）部分。
2、树形图。
例3 某人在a、b、c三个城市游览，他今天在这个城市，明天就要到另一个城市。那么，他从a城出发，4天后仍然回到a城，共有多少种不同游览路线？
解：这位游客的游览路线可以用如下的树形图来表示，所以他共有6种不同的游览路线。
例4 甲、乙两人进行象棋比赛，双方约定先胜四局者最终胜。现在三局过后，甲为二胜一负。那么要决出最后胜负为止，一共有多少种不同的可能情形？
其中甲胜的不同情形共有多少种？（假设没有和局）
解：比赛要决出最后胜负，至少还要赛2场，至多还要赛5场，按进行比赛的场数分类，再比赛2场可以决出胜负，两场都是甲胜利，1种；
再比赛3场可以决出胜负，前两场甲一负一胜或一胜一负，2种；
再比赛4场可以决出胜负，前三场甲两负一胜，3种；四场都是乙胜，1种；
再比赛5场可以决出胜负，前四场甲三负一胜，4种；前四场乙三胜一负，4种；
∴一共有不同的可能情形：1+2+3+1+4+4=15（种）
其中甲胜利的情形共有：1+2+3+4=10（种）
3、标数枚举（求最短路径）
例5 如图，要从a点走到b点，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方，那么共有多少种不同走法？
解：根据题意，每到一个节点就会有不同的路线，那么对每个节点的路线条数进行标数，则可得到。
节点b的路线条数，如图所示，所以，共有12种不同的走法。
例6 如下各图，由a点沿最短路线到达b点各有多少种不同走法？
解：与例题5一样，对每个节点的路线进行。
标数，则可得到节点b的路线条数，如图所示，所以，图（1）中，到达b点有20种不同路线，图（2）中，到达b点有34种不同路线。
第二讲：加法、乘法原理（一）
一、内容概述。
1、加法原理和乘法原理**于枚举法中分类和有序枚举，是枚举中对于规律的一种概括。加法原理：完成一件事情，有k类不同的方法，而第一类方法中有m1种不同的做法，第二类方法中有m2种不同的做法，……那么完成这一件事情的方法总数为：
m1+m2+……mk
乘法原理：完成一件事情，有k个必经的步骤，而第一个步骤中有m1种不同的做法，第二个步骤中有m2种不同的做法，……那么完成这一件事情的方法总数为：m1×m2×……mk
2、可以用下图表示加法原理和乘法原理：
二、加法原理的运用。
例1 长沙去广州，可乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。如果某天中，长沙去广州有5班火车、4班汽车和3班飞机，那么这一天中由长沙去广州可以有多少种不同的走法？
分析与解：目的：长沙去广州；
途径：乘坐三种不同的交通工具；
结果：乘坐任何一种交通工具都可以到达目的地，整个事件结束。
所以，利用加法原理，由长沙去广州可以有5+4+3=12（种）不同的走法。
例2 有5分币，2分币，1分币各若干，现要组成1角钱，共有多少种不同的组合方式？
分析与解：按币值较大的进行分类枚举，这样分的类别比较少，只有三种，5分币取两张，另两种币值的没得选择，1种组合方式；
5分币取一张，再考虑2分币，可以取1张，2张，或者不取，3种组合方式；
5分币不取，再考虑2分币，可以取1，2，3，4，5张，或者不取，6种组合方式。
利用加法原理，共有1+3+6=10种不同的组合方式。
例3 用10把钥匙开10把锁，但是不知道哪把钥匙开哪把锁，那么最多是多少次就能够将所有的钥匙和所有的锁一一配好？
解：第一片钥匙要找到适合它的锁，至多要试9次；
第二片钥匙要找到适合它的锁，至多要试8次；
第三片钥匙要找到适合它的锁，至多要试7次；
所以将所有的钥匙和所有的锁一一配好最多需要。
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）
三、乘法原理的运用。
例4 书架上层放着6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书与语文书各一本。有多少种不同的取法？
分析与解：目的：取数学书与语文书各一本。
途径：上层取一本，下层取一本，分步进行。
所以，根据乘法原理，共有6×5=30种不同的取法。
例5由数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？能被5整除的四位数（没有重复数字）有多少个？
解：（1）没有重复数字的四位数，先考虑特殊位置，千位数字，只有1，3，5，7四种选择；
百位数字，此时千位数字已经选定，五个数字已经用去1个，则百位数字只能在剩下的4个数字中选择；
依次类推，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，根据乘法原理，这样没有重复数字的四位数有4×4×3×2=96（个）
（2）被5整除没有重复数字的四位数，此时个位数字更为特殊，它只能是0或者5，所以分类讨论，当个位数字是0时，千位有4种，百位有3种，十位有2种，共计1×4×3×2=24（个）
当个位数字是5时，千位有3种，百位有3种，十位有2种，共计1×3×3×2=18（个）
所以被5整除没有重复数字的四位数有24+18=42（个）
例6在下图中共有16个方格，现在要将a、b、c、d四枚棋子放到方格中，而且要求每一行、每一列都只能出现一枚棋子，那么一共有多少种不同的放法？
解：分步将a、b、c、d四枚棋子放到方格中，a放入方格中有4×4=16种不同的放法；
b放入方格中有3×3=9种不同的放法；
c放入方格中有2×2=4种不同的放法；
d放入方格中有1×1=1种不同的放法。
一共有不同的放法：16×9×4×1=576（种）
例7红日小学的乒乓球代表队由10名男队员和8名女队员组成：
1）在乡乒乓球对抗赛上，红日小学要从这些队员中挑选 1名男队员，1名女队员配成一组去参加男女混合双打比赛，问有多少种不同的搭配方式？
2）红日小学荣获乡乒乓球比赛团体总分第一，校领导要从男队员或女队员中任选一人去登台领奖，问有多少种不同的选法？
解：分步选人，从男队员中选有10种不同选择；从女队员中选有8种不同选择。
男女混合双打比赛，有不同的搭配方式10×8=80（种）
利用加法原理可知，从男、女队员中任选一人，有不同的选法：10+8=18（种）
第三讲：加法、乘法原理（二）
一、知识要点：
1、加法原理和乘法原理的区别在于是将所完成的“事情”进行分类还是分步。但是无论是。
进行分类还是分步，都必须做到几个类别或几个步骤相互独立，互不影响。
2、生活中进行加法原理与乘法原理的实际应用时，常常应该先考虑分类，再考虑在每一。
类中进行分步。但要注意：有时并不能直接发现分类，而是在按照所分的步骤前进几步以后才发现某一步中有几类情形，这时要找到分类的标准重来先分类、再分步进行计数。
二、加法与乘法原理的综合运用。
例1 如图是连接城市a、b、c的公路网，汽车从a点出发经过b到c选择不绕远路的不同路线共有多少种？
解：利用标数枚举可知，从a到b有6种不同走法，从b到c也有6种不同走法，所以根据乘法原理，汽车从a点出发经过b到c
选择不绕远路的不同路线共有。
6×6=36（种）
例2 在1-500的自然数中，不含有数字“4”的数共有多少个？
解：考虑0—499，为了统一，把一位数、两位数都看作是三位数，如0看作三位数是000，12看作三位数是012，如此，这些三位数的个位数字有0，1，2，3，5，6，7，8，9共计9种选择；
十位数字有0，1，2，3，5，6，7，8，9共计9种选择；
百位数字有0，1，2，3共计4种选择；
因此在0—499中，不含有数字“4”的数共有4×9×9=324（个）
在1-500的自然数中，不含有数字“4”的数共有324+1-1=324（个）
例3 用4种颜色染下图中编号为1，2，3，4的4个矩形，使任二相邻的矩形所染的颜色都不相同的染色方法有多少种？
解同色有：4×3×1×3=36（种）
不同色有：4×3×2×2=48（种）
染色方法有：36+48=84（种）
例4 用红、黄、绿三面旗子挂在旗杆上，可以挂一面、两面、三面，不同的顺序，算不同的挂法。问有多少种不同的挂法？
解：按挂旗子的面数进行分类枚举，只挂一面旗子，有红、黄、绿三种不同的选择；
挂两面旗子，有3×2=6（种）不同的挂法；
挂三面旗子，有3×2×1=6（种）不同的挂法。
所以一共有3+6+6=15（种）不同的挂法。
例5 有10级台阶，小明每步只能跨一级或者二级，那么小明要从底层上楼到第十层有多少种不同的走法？
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